Si $a^pb^p=b^pa^p$ y $a^qb^q=b^qa^q$ para coprime $p,q$ y todos $a,b\in G$ entonces $G$ es abeliana

Question

Supongamos que $G$ es un grupo y $p,q \in \mathbb{N}$ y $(p,q)=1$ . Si $$a^pb^p=b^pa^p\hspace{.5cm} \ \text{and}\hspace{.5cm} \ a^qb^q=b^qa^q \hspace{1cm}\forall a,b\in G$$ ¿Es cierto que $G$ ¿es abeliana? ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Desgraciadamente es falso. Considere $\mathbb{D}_{6}$ el grupo de simetrías del triángulo (equilátero). Entonces, para cada rotación, digamos $R_1$ tenemos $R_1^3=I$ la identidad, mientras que para cada reflejo $S_1$ tiene $S_1^{2}=I$ . Observar $(2,3)=1$ entonces $\mathbb{D}_6$ es un contraejemplo.