Como se ha dicho en los comentarios, la integral es en términos de función hipergeométrica. Sin ninguna simplificación, lo que produce un CAS es $$I(x)=\int \sqrt[3]{\sin (x) \cos (x)} \,dx=\frac{3}{4} \sqrt[3]{\cos ^2(x)}\sqrt[3]{\sin (x) \cos (x)} \tan (x) \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{3};\sin ^2(x)\right) $$
La única solución que veo es una expansión en serie alrededor de $x=0$ lo que daría para el integrando $$x^{\frac 13} \left(1-\frac{2 x^2}{9}-\frac{2 x^4}{405}-\frac{212 x^6}{76545}-\frac{382 x^8}{492075}-\frac{81412 x^{10}}{341007975}-\frac{64322396 x^{12}}{837856594575}+O\left(x^{14}\right)\right)$$
Integrando los términos, esto daría $$I(x)\sim x^{\frac 43} \left(\frac{3}{4}-\frac{x^2}{15}-\frac{x^4}{1080}-\frac{106 x^6}{280665}-\frac{191 x^8}{2296350}-\frac{40706 x^{10}}{1932378525}-\frac{16080599 x^{12}}{2792855315250}+O\left(x^{14}\right) \right)$$ Debido a la simetría, sólo tenemos que centrarnos en el rango $0 \leq x \leq \frac \pi 2$ . Para estos límites, la integración numérica daría $1.02670$ mientras que la serie truncada anterior llevaría a $1.03694$ (que, estoy de acuerdo, está muy lejos de ser fantástico).
Para valores menores del límite superior, los resultados no son tan malos $$\left( \begin{array}{ccc} t & \text{approximation} & \text{exact} \\ 0.1 & 0.034781 & 0.034781 \\ 0.2 & 0.087409 & 0.087409 \\ 0.3 & 0.149416 & 0.149416 \\ 0.4 & 0.217891 & 0.217891 \\ 0.5 & 0.290998 & 0.290998 \\ 0.6 & 0.367329 & 0.367329 \\ 0.7 & 0.445677 & 0.445677 \\ 0.8 & 0.524937 & 0.524936 \\ 0.9 & 0.604041 & 0.604041 \\ 1.0 & 0.681920 & 0.681917 \\ 1.1 & 0.757449 & 0.757438 \\ 1.2 & 0.829400 & 0.829351 \\ 1.3 & 0.896352 & 0.896156 \\ 1.4 & 0.956565 & 0.955807 \\ 1.5 & 1.007779 & 1.004739 \end{array} \right)$$
Suponiendo que $0 \leq x \leq \frac \pi 2$ $$I(x)=\frac{3}{4} \sin ^{\frac{4}{3}}(x) \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{3};\sin ^2(x)\right)$$ lo que no ayuda en absoluto ya que $\int \sin ^{2 n+\frac{4}{3}}(x)\,dx$ ya implica la función hipergeométrica gaussiana.
