Sé que todo el concepto de medida se introdujo para desarrollar la integración de Lebesgue. Pero me preguntaba Incluso si ya teníamos la integración de Riemann por qué era necesaria .
Gracias y saludos por adelantado
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B. Mehta
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Una diferencia importante entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue es con respecto a límites puntuales .
Considere la secuencia de funciones $f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$ definido por
$$f_n(x) = \begin{cases} 1 &\text{if $x\in\mathbb{Q}$ with $x=\frac{p}{q}$, $q \leq n$}\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ es decir $f_n(x)$ es $1$ sólo si $x$ es un número racional con denominador a lo sumo $q$ . Ahora, cada $f_n$ es $0$ en todos los puntos menos en los finitos, por lo que son integrables y $\int_0^1 f_n \, dx = 0$ .
Pero, el límite puntual $f(x) :=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ viene dada por $$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{if $x\in\mathbb{Q}$}\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ la función indicadora de los racionales. Sin embargo, $f(x)$ no es integrable de Riemann, ya que para cualquier partición, en cada intervalo de la misma, el sumo de $f$ es $1$ y el infimo es $0$ por lo que las integrales inferior y superior siempre difieren en $1$ .
La integral de Lebesgue restablece esta bonita propiedad (parcialmente) con el teorema de convergencia monótona de Beppo-Levi y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue que dicen que si $f$ es el límite puntual de las funciones $f_n$ y $f_n$ es una secuencia creciente puntualmente (como la anterior) o $f_n$ están acotadas por alguna función integrable $g$ (de nuevo, como en el caso anterior con $g=1$ ) entonces
$$\lim_{n\to\infty}\int f_n(x)\, dx=\int\lim_{n\to\infty}f_n(x) \, dx.$$ De forma más general, también tenemos teoremas que permiten intercambiar la diferenciación y la integración e intercambiar el orden de integración.
Además, la integral de Lebesgue generaliza también la noción de suma, por lo que muchos teoremas aparentemente sobre la integración se aplican también a la suma, utilizando la medida de recuento.
El concepto de medida va mucho más allá de la integración en R^n. Por ejemplo, subyace a la noción probabilística de azar. Esto incluye: el movimiento browniano y los mercados de valores, los procesos puntuales (que modelan la ubicación de las gotas de lluvia), las secuencias infinitas de lanzamientos de monedas, las pruebas estadísticas, etc.
También es importante en geometría, donde tener una noción que generalice la superficie es muy útil. (Por ejemplo, fijar una caja en 3 espacios. ¿Qué es una línea aleatoria que atraviesa esta caja, y cuáles son sus propiedades? Este problema se resuelve introduciendo primero una medida en el espacio de las líneas. Al parecer, esto resulta ser una noción útil en estereología).
Por lo tanto, tener una teoría general sobre las medidas es muy útil, ya que no hay que empezar de cero con cada uno de estos ejemplos.
Incluso en $R^n$ la noción es muy útil - el espacio vectorial de las funciones integrables de Lebesgue tiene algunas propiedades muy convenientes (como la completitud), lo que facilita ciertas construcciones ya que hace más sencillo comprobar que una secuencia tiene un límite.
Además, es bastante difícil construir funciones que no se puedan enchufar a la maquinaria de la medida de Lebesgue (que algunas manipulaciones tal vez), pero no ocurre lo mismo con la integral de Riemann. Esto significa que hay hipótesis más sencillas de comprobar en los teoremas. En esta línea, hay algunos teoremas muy fuertes con hipótesis relativamente débiles que se sostienen para la integral de Lebesgue, pero no para la integral de Riemann (a menos que se impongan hipótesis adicionales), como el teorema de convergencia dominada por Lebesgue.
Paul Pantea
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La teoría de las medidas surge de forma natural cuando se intenta generalizar la noción de tamaño de un conjunto, de forma que tenga las características esperadas: es aditiva, no negativa y el tamaño de $\emptyset$ es $0$ . Si se intenta construir diferentes medidas sobre $\mathbb{R}^n$ se descubre rápidamente que hay esencialmente una sola medida que generaliza las longitudes de los intervalos, y que además es invariante de la traslación; a saber, la medida de Lebesgue $\lambda$ .
Recuerda que cuando calculas las sumas de Riemann de una función $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ para la integral, se hace uso de las longitudes de los subintervalos:
$$\sum_{i=o}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1} - x_i)$$
para alguna división de intervalos y establecer puntos intermedios. ¿Cómo se haría esto si $f$ se definieron en un espacio arbitrario $X$ que no tiene nada que ver con la línea real?
En las variedades diferenciables, excepto en los casos triviales, también es fácil demostrar que la integración de funciones está mal definida, aunque las variedades tengan localmente el aspecto de $\mathbb{R}^n$ . Se necesita una estructura adicional. Si el colector es orientable, puedes conseguirlo prescribiendo una forma de volumen.
