Algoritmo para determinar si un polinomio dado sobre $\mathbb{Q}$ es irreducible sobre el $p$ -campo de números anádicos

Question

Dejemos que $\mathbb{Q}_p$ sea el $p$ -campo numérico de los ádicos. Sea $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ sea un polinomio de grado $\ge 1$ .

¿Existe un algoritmo para determinar si $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}_p$ ¿o no?

La motivación es que efectivamente existe tal algoritmo si sustituimos $\mathbb{Q}_p$ por $\mathbb{R}$

Answer 1

Buscando en Google "p-adic irreducibilidad", encontré este enlace a un artículo de D. Cantor y D. Gordon. Evidentemente, hay son algoritmos, pero permítanme señalarles dónde pueden estar algunas de las dificultades.

En el caso real, es fácil, porque un polinomio irreducible sólo puede tener grado $1$ o $2$ y para un polinomio cuadrático, se determina la irreductibilidad mirando el signo del discriminante.

En el $p$ -ádica, hay polinomios irreducibles de todos los grados, por Eisenstein, que te dice que $x^n-p$ es irred. Los métodos generales para demostrar la reducibilidad son el lema de Hensel en la forma fuerte, que dice que si $f(X)\in\mathbb Z_p[X]$ factores en dos factores relativamente primos como un $\Bbb F_p$ -polinómico, entonces es un factor sobre $\Bbb Z_p$ . Y el polígono de Newton como herramienta general, que dice que si la parte (no vertical) del polígono tiene más de un segmento, el polinomio es reducible.

El $p$ -adic irreducibilidad Las técnicas que conozco son, de nuevo el polígono de Newton, que dice que si el único segmento no vertical del polígono no pasa por ningún punto integral en el plano que no sean sus puntos extremos, entonces el polinomio es irreducible; y la condición obvia de que si el segmento asociado $\Bbb F_p$ -es irreducible, entonces el polinomio original $\Bbb Z_p$ -polinomio es irreducible. Nótese que el conocido Criterio de Eisenstein para la irreducibilidad es un caso especial del método Newton-polígono que mencioné anteriormente.

Por último, hay que tener en cuenta que para aplicar el segundo criterio de irreductibilidad que he mencionado antes, hay que determinar si un $\Bbb F_p$ -es irreducible. Esto ya es un problema difícil.

Lo dejo así, y te remito al artículo de Cantor-Gordon, y a cualquier otro que seguramente encontrarás cuando profundices.