Propiedad universal del producto de dos variedades suaves

Question

Estoy leyendo el libro de Ravi Vakil Fundamentos de la geometría algebraica Y en el primer capítulo, que trata de la teoría de las categorías, comienza la discusión mostrando que se puede definir el producto cartesiano de dos conjuntos utilizando una propiedad universal. Luego dice lo siguiente:

Esta definición tiene la ventaja de que funciona en muchas circunstancias... como la categoría de los espacios vectoriales, donde los mapas se toman como mapas lineales; o la categoría de las variedades diferenciables, donde los mapas se toman como submersiones, es decir, mapas diferenciables cuya diferencial es siempre suryectiva

Mi pregunta es sobre el caso de la categoría de colectores lisos. ¿Por qué los mapas están restringidos a ser inmersiones? ¿Hay algún problema si permitimos que los morfismos sean mapas suaves arbitrarios?

Answer 1

El producto de dos variedades suaves existe ciertamente, en la categoría de mapas suaves arbitrarios (o $C^n$ mapas, o lo que sea). Los productos de $\mathbb{R}$ con ella misma en esta categoría son, después de todo, el tema del cálculo multivariable, y uno sabe por ese curso que la suavidad de una función en $\mathbb{R}^n$ se determina en coordenadas. No estoy seguro de si Vakil está dando un ejemplo más interesante, o simplemente pensando en los productos de fibra.

Answer 2

En general, la intersección de dos submanifolds $N,N'$ de $M$ no es un submanifold, y $N\cap N'$ es el producto fibra de $i_N:N\rightarrow M$ y $i_{N'}:N'\rightarrow M$ .