¿Cómo puedo demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3)$ es un campo de división para $X^3-2=0$ ?

Question

Quiero demostrar concretamente que las raíces del polinomio $\sqrt[3]{2},\zeta_3\sqrt[3]{2},\zeta_3^2\sqrt[3]{2}$ todos se encuentran dentro de este campo, pero los dos últimos no son múltiplos racionales de $\sqrt[3]{2}$ y $\zeta_3$ .

Answer 1

No necesitan ser múltiplos racionales de $\sqrt[3]{2}$ y de $\zeta_3$ . El campo puede describirse como $K(\zeta_3)$ o $L(\sqrt[3]{2})$ , donde $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ y $L=\mathbb{Q}(\zeta_3)$ . Así, por ejemplo, $$ K(\zeta_3)=\alpha+\beta\zeta_3+\gamma\zeta_3^2 $$ donde $\alpha,\beta,\gamma\in K$ .

Las tres raíces de $X^3-2$ por lo que pertenecen al campo $F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3)$ Por lo tanto $X^3-2$ se divide en $F$ . También debes demostrar que este campo está generado por las tres raíces. Pero $\sqrt[3]{2}$ ya es una raíz y $$ \zeta_3=\frac{\zeta_3^2\sqrt[3]{2}}{\zeta_3\sqrt[3]{2}} $$ así que $\zeta_3$ pertenece al campo generado por las raíces de $X^3-2$ .

Answer 2

La definición es la siguiente: $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta_3) = \Bigg\{ \frac{f(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)}{g(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)} \;\bigg| \; f, g \in \mathbb{Q}[x,y], \; g(\sqrt[3]{2}, \zeta_3) \neq 0\Bigg\}$$

Así que definitivamente todas las raíces de tu ecuación están ahí.