Prueba de la fórmula de los coeficientes de Fourier para una función dada

Question

$\text{y is a 2$ \i $-periodic function defined as:}$

$y(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(x)}{x} & \text{, $0\le|x|\le \pi$} \\ 1 & \text{, $x=0$} \end{cases}$

$\text{I want to show that the fourier coefficients of y are equal to:}$ $$c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{(n-1)\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x} dx $$

Mi intento (utilizando la fórmula de Euler):

$$c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin x}{x}e^{-inx} dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{ix(1-n)}-e^{-ix(1+n)}}{2xi} dx$$

No estoy seguro de cómo continuar sin embargo, también se me permite integrar de $-\pi$ a $\pi$ ? Dado que y se define de forma diferente en $x=0$ ?

Answer 1

Tenemos \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x}e^{-inx} \,dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x}\cos(nx) \,dx -i \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x}\sin(nx) \,dx}_{0 \text{ (odd integrand)}} \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+1)x)}{x} \,dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((1-n)x)}{x} \,dx \\ &= \int_0^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x} \,dx - \int_{0}^{(n-1)\pi} \frac{\sin x}{x} \,dx \\ &= \int_{(n-1)\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x} \,dx \end{align}