Dejemos que $f: [0,\infty] \to \mathbb{R}$ sea continua, de manera que su límite tienda a $0$ como $x \to \infty$ . Demostrar que $f$ es uniformemente continua.

Question

Esta pregunta ha sido respondida en el pasado, pero estoy confundido sobre un punto de la prueba.

Este es el planteamiento del problema:

Dejemos que $f$ sea una función continua de $[0, \infty)$ a $\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$ . Demostrar que $f$ es uniformemente continua en $[0, \infty)$ .

Prueba:

Desde $$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$ dado $\epsilon >0$ existe un $N>0$ tal que para todo $x,y > N$ , $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ .

Ahora bien, como $[0,N]$ es un conjunto compacto, y $f$ es continua, $f$ es uniformemente continua en $[0,N]$ . Es decir, dada la misma $\epsilon >0$ existe un $\delta > 0$ tal que $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ para todos $x,y \in [0,N]$ con $|x-y| < \delta$ .

Ahora sólo tenemos que demostrar que $f$ es uniformemente continua en $(N,\infty)$ .

Mi pregunta es, ¿no podemos decir que para todos $x,y > N$ con $|x-y| < \delta$ , $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ y por lo tanto, tenemos $f$ es uniformemente continua en todo $[0, \infty)$ ?

Una prueba anterior dice que hay que dejar $\delta_j = min\{1,\delta\}$ antes de demostrar la continuidad uniforme de $f$ en $(N, \infty)$ y no veo la necesidad de este paso.

Answer 1

Una posible fuga en la prueba se produce si preguntamos: ¿Es $f$ continua en $N$ . Una forma sencilla de resolver esto: En lugar de tomar $[0,N]$ , toma $[0,N+1]$ como el conjunto compacto. Donde $N$ se elige de manera que: $$\forall x>N: |f(x)-0|<\frac{\epsilon}{2}$$ Que tenemos: $$\forall x,y>N: |f(x)-f(y)| \leq |f(x)-0|+|f(y)-0|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \: \: (1)$$ Como en el OP tenemos un $\delta_1>0$ tal que: $$\forall x,y: x,y \in [0,N+1]: |x-y|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(y)| <\epsilon \: \: (2)$$ Ahora toma $\delta$ tal que: $0<\delta <min \{\frac{1}{2},\delta_1 \}$ .

Último paso: Toma $x,y \in [0,+\infty[$ . Puede haber tres casos:

Caso 1: $\:$ $x,y \in [0,N+\frac{1}{2}]$ . Entonces se deduce directamente de $(2)$ eso: $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .
Caso 2: $\:$ $x,y \in [N+\frac{1}{2},+\infty]$ . Entonces: se deduce directamente de $(1)$ .
Caso 3: Por la elección de $\delta$ podemos ver que $y<N+1$ por lo que ambos $x,y$ son menores que $N+1$ . Y, por tanto, se aplica el caso 1.