¿Cuál es el cierre de Zariski del espacio de las álgebras de Lie semisimples?

Question

Dada la excelente respuesta y los comentarios de Leonid Positselski a esta pregunta , supongo que la presente es una pregunta difícil. Recordemos que el Estructuras de álgebra de Lie en una (dimensión finita sobre $\mathbb C$ , digamos) espacio vectorial $V$ son los mapas $\Gamma: V^{\otimes 2} \to V$ Satisfaciendo a $\Gamma^k_{ij} = -\Gamma^k_{ji}$ y $\Gamma^m_{il}\Gamma^l_{jk} + \Gamma^m_{jl}\Gamma^l_{ki} + \Gamma^m_{kl}\Gamma^l_{ij} = 0$ por lo que el espacio de estructuras de Lie algbera es una variedad algebraica en $(V^\*)^{\otimes 2} \otimes V$ . Una estructura de álgebra de Lie $\Gamma$ es semipreparado si el emparejamiento bilineal $\beta_{ij} = \Gamma^m_{il}\Gamma^l_{jm}$ es no degenerado; por tanto, los semisímbolos son un subconjunto abierto de Zariski del espacio de todas las estructuras de las álgebras de Lie. Dado que la clasificación de Cartan de las clases de isomorfismo de los semisímbolos es discreta (no hay familias continuas), las componentes conectadas del espacio de los semisímbolos siempre están contenidas en las clases de isomorfismo. Los semisímbolos no son densos entre todas las estructuras de las álgebras de Lie: si $\Gamma$ es semisimple, entonces $\Gamma_{il}^l = 0$ , mientras que esto no es cierto para el producto del no abeliano bidimensional con un abeliano.

1. ¿Existe una caracterización (computacionalmente útil) del cierre de Zariski del espacio de las estructuras de las álgebras de Lie semisimples? (LP da más ecuaciones que satisface cualquier semisimple).
2. Supongamos que $\Gamma$ no es semisimple pero está en la clausura de los semisimples. ¿Cómo puedo saber para qué clases de isomorfismo de los semisímiles es $\Gamma$ en el cierre de la clase de isomorfismo? (Es decir $\Gamma$ es un límite de ¿qué álgebras?)
3. ¿Hasta qué punto puedo entender la teoría de la representación de las álgebras en la clausura de los semisimples basándome en la comprensión de sus álgebras semisimples vecinas?

Para la 3., podría imaginar la siguiente situación. Hay alguna "ampliación" natural del cierre de los semisímbolos, en la que al menos cada elemento de la frontera es un límite de una sola clase de isomorfismo en la clasificación de Cartan. Entonces cualquier representación de la frontera ampliada es una combinación de representaciones de las partes ampliadas.

Answer 1

Como calentamiento para esta pregunta, podrías pensar en el cierre de las álgebras asociativas semisimples dentro de todas las álgebras asociativas de dimensión finita de una dimensión dada. Como calentamiento para esta pregunta, puedes pensar en el caso conmutativo. Como calentamiento para esa pregunta podrías mirar un hermoso papel de Bjorn Poonen (en particular, la sección 6 y la observación 6.11).

Answer 2

Un comentario (espero que útil). He pensado en el problema de encontrar el cierre de una clase de isomorfismo - no tengo una respuesta, pero tuve una idea que espero que sea útil para una solución.

Consideremos el cierre del conjunto S de álgebras de Lie isomorfas a un álgebra de Lie semisimple fija $L$ de dimensión $n$ y fijar una base de $L$ que te da las constantes de la estructura. Entonces hay una suryección desde matrices invertibles $GL_n(\mathbb{C})$ a $S$ actuando sobre una base estándar fija de $V$ con $x \in GL_{n}(\mathbb{C})$ para darte otra base, y ahora obligas a esta otra base a tener las propiedades de la base de $L$ fijados anteriormente, es decir, las constantes de la estructura - luego rastrear esto para obtener los valores de $\Gamma^k_{ij}$ que define esta álgebra de Lie en particular.

Para ser precisos con lo anterior, creo que se describe mejor como una acción transitiva del grupo algebraico $GL_{n}(\mathbb{C})$ sobre la variedad $S$ . Sin embargo, creo que hay algunas matrices que actúan trivialmente, y que estas matrices corresponden a automorfismos del álgebra de Lie (que dejan invariantes las constantes de estructura) - es decir, los estabilizadores puntuales corresponden a automorfismos de las álgebras de Lie, por lo que el espacio homogéneo tiene la estructura del cociente de $GL_{n}(\mathbb{C})$ por este estabilizador puntual, que es el grupo de Lie de los automorfismos de $L$ .

Creo que esto podría ayudar a obtener el cierre de una única clase de isomorfismo de las álgebras de Lie (y dado que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de álgebras de Lie semisimples de dimensión fija, debería ayudar también con ese problema). Pero no estoy seguro de cómo - lo intenté ingenuamente diciendo que tal vez este cierre consiste en la unión de las clases de isomorfismo que se obtiene, en un sentido intuitivo, mediante la sustitución de la matriz invertible $x$ , permitiendo también las matrices singulares; pero lo que obtengo de eso parece ser una tontería, así que estoy seguro de que ese camino está equivocado.

Answer 3

Esto es realmente un comentario a la respuesta de rajamanikkam, pero no cabe en la caja de comentarios.

Lo que rajamanikkam describe en el último párrafo es esencialmente una contracción del álgebra de Lie de $L$ . Es bien sabido que así se obtienen álgebras de Lie que se aproximan en algún sentido al álgebra de Lie original. (Me temo que no hablo el idioma adecuado, así que no estoy seguro de si esto está en el cierre de Zariski).

Una forma de definir una contracción de un álgebra de Lie dada $L$ , digamos complejo de dimensión $n$ es considerar una curva continua $A(t)$ en $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ que para $t$ en algún intervalo, digamos $[1,\infty)$ , se encuentra en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . Para $t$ en ese intervalo las álgebras de Lie $L(t)$ relacionado con $L$ a través de $A(t)$ será isomorfo a $L$ pero si $\lim_{t\to\infty} L(t)$ existe, lo cual no es en absoluto el caso de todas las curvas $A(t)$ -- entonces dará lugar a un álgebra de Lie que puede o no ser isomorfa a $L$ .

No estoy seguro de si las contracciones son suficientes para generar el cierre completo, o de hecho si este es el tipo de cierre que la pregunta originalmente pretendía.