Exponente característico Proceso de Levy

Question

La fórmula de Levy-Khintchine nos indica cómo es la función característica de un proceso de Levy. Dado un proceso $Y_t$ la función característica de $Y_1$ viene dada por \begin{equation} \phi_1(u) = e^{\Psi(u)}, \end{equation} donde \begin{equation} \Psi(u) =i \mu u - \frac{1}{2}\sigma^2 u^2 +\int_{\mathbb{R}} \left(e^{i u x} -1 - i u x \mathbf{1}_{(-1,1)} \right) \nu(\mathtt{d} x ). \end{equation} Es $e^{-\Psi(u)}$ también ¿la función característica de un proceso Levy? Gracias de antemano.

Answer 1

HINT : Considere ejemplos sencillos de procesos de Levy: Proceso de Wiener, proceso de Poisson y compruebe si $\exp\left(-\Psi(u)\right)$ es una función característica de una variable aleatoria. (véase criterios y utilizar ejemplos: primero , segundo , tercera , cuarto )

Para el proceso Wiener, $\Psi(u) = -\frac{1}{2} \sigma^2 u^2$ para el proceso de Poisson $\Psi(u) = \lambda \left(\mathrm{e}^{i u x} - 1 \right)$ .