Función Wimpy powerset

Question

Definir la "función powerset débil $\mathcal{W} : \mathrm{Set} \rightarrow \mathrm{Set}$ escribiendo $$\mathcal{W}(B) = \{X \in \mathcal{P}(B) : |X| < |B|\}.$$

Algunas observaciones preliminares.

1. Si $B$ es finito, entonces $|\mathcal{W}(B)| + 1 = |\mathcal{P}(B)|.$

2. Si $B$ es contable (por ejemplo, tomar $B=\mathbb{N}$ ), entonces $|\mathcal{W}(B)| = |B|.$

¿Qué más se sabe sobre $\mathcal{W}$ ? En particular:

• ¿Qué podemos decir sobre $\mathcal{W}(\aleph_1)$ y $\mathcal{W}(\beth_1)$ ?
• ¿Existen conjuntos $B$ tal que $|\mathcal{W}(B)| = |\mathcal{P}(B)|$ ?

Answer 1

Suponemos que ZFC, ¿verdad?

$|\mathcal W(\omega_1)|=\beth_1$ .

$\beth_1\le|\mathcal W(\beth_1)|\le\beth_2$ ;
si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ entonces $|\mathcal W(\beth_1)|=\beth_1$ pero
si $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ y $2^{\aleph_1}=2^{\aleph_2}=\aleph_3$ entonces $|\mathcal W(\beth_1)|=\beth_2$ .

$|\mathcal W(\beth_{\omega})|=|\mathcal P(\beth_{\omega})|=\beth_{\omega+1}$ .