Definición del producto tensorial de representaciones

Question

Estoy un poco confundido con la siguiente definición:

Dejemos que $\rho_1:G \to Aut(V_1)$ , $\rho: G \to Aut(V_2) $ sean dos representaciones del mismo grupo $G$ . Entonces un producto tensorial de representaciones se define como: $$ \rho_1 \otimes\rho_2:G \to Aut(V_1 \otimes V_2)\\ g \mapsto (\rho_1\otimes\rho_2)(g):= \rho_1(g)\otimes \rho_2(g) $$

Pregunta : No es objeto $\rho_1(g)\otimes \rho_2(g)$ pertenece a algo como $Aut(V_1)\otimes Aut(V_2)$ (ya que $\rho_i(g) \in Aut(V_i)$ ), y no a $Aut(V_1 \otimes V_2)$ ?. Pero, sinceramente, entonces no entiendo si el producto tensorial de dos grupos no abelianos está siquiera definido.

Answer 1

Si $A:V_1\to V_1$ y $B:V_2\to V_2$ son transformaciones lineales, entonces $A\otimes B$ se define como la única transformación lineal $V_1\otimes V_2\to V_1\otimes V_2$ que satisface $(A\otimes B)(x\otimes y)=A(x)\otimes B(y)$ .

Answer 2

Dado un elemento $$ x = \sum_{k} a_k v_{1, k} \otimes v_{2, k} \in V_1 \otimes V_2, $$ la acción de $\rho_1 (g) \otimes \rho_2 (g)$ en $x$ es: $$(\rho_1 (g) \otimes \rho_2 (g))( x) = \sum_{k} a_k \rho_1 (g) ( v_{1, k}) \otimes \rho_2 (g) (v_{2, k}).$$

Así, $\rho_1 (g) \otimes \rho_2 (g)$ es un mapa lineal desde $V_1 \otimes V_2$ a $V_1 \otimes V_2$ . Así que $\rho_1 (g) \otimes \rho_2 (g)$ es realmente en ${\rm Aut}(V_1 \otimes V_2)$ .