Productos tensoriales de módulos (restricción y extensión de escalares)

Question

Dejemos que $\phi:A \rightarrow B$ sea un homomorfismo de anillo, $M$ ser un $A$ -y $N$ a $B$ -módulo.

Demostrar que

$$N \otimes_B (B \otimes_A M) \cong N \otimes_A M$$ como $A$ o $B$ -módulos.

Sabemos que $B \otimes_AM$ es un $B$ -módulo y $N$ es un $A$ -módulo a través de la extensión y restricción de escalares. Tenemos que $N \cong N \otimes_BB$ .

¿Es legal hacer esto? $$N \otimes_B (B \otimes_AM) \cong (N \otimes_BB) \otimes_AM \cong N \otimes_AM$$

Answer 1

Sí; y ese es exactamente el enfoque que yo utilizaría.

Pero si estás nervioso, ese argumento también sugiere cómo escribir una función real que da el isomorfismo:

• La dirección de avance es $n \otimes b \otimes m \mapsto nb \otimes m $
• La dirección hacia atrás es $n \otimes m \mapsto n \otimes 1 \otimes m $

y entonces simplemente hay que demostrar que ambas funciones están bien definidas y son inversas.

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Para mostrar que estas definiciones están bien definidas, utilizamos el hecho de que he expresado sus valores en tensores puros. Recordemos:

Dejemos que $U$ ser un derecho $R$ -módulo y $V$ ser una izquierda $R$ -módulo. Existe una correspondencia uno a uno entre

• Funciones $f : U \times V \to W$ tal que $f(u,v)$ es $R$ -lineal en ambas variables
• Mapas lineales $g : U \otimes_R V \to W$

Y estos están relacionados por $f(u,v) = g(u \otimes v)$ .

Además, si $U,W$ se dejan $S$ -módulo, entonces si $f(u,v)$ es $S$ -lineal en $u$ si y sólo si $g$ es $S$ -lineal.

Esto se extiende inductivamente a los tensores repetidos; por ejemplo

Dejemos que $U$ ser un derecho $R$ -módulo, $V$ ser una izquierda $R$ y un módulo derecho $S$ -y $W$ ser una izquierda $S$ -módulo. Existe una correspondencia uno a uno

• Funciones $f : U \times (V \times W) \to X$ tal que $f(u,v,w)$ es $R$ -lineal en $u$ y $v$ y $S$ -lineal en $v$ y $w$
• Mapas lineales $g : U \otimes_R (V \otimes_S W) \to X$

Y estos están relacionados por $f(u,v,w) = g(u \otimes v \otimes w)$ .

Puede derivar esto aplicando la versión de dos factores a $U$ y $V \otimes W$ y luego de nuevo a $V$ y $W$ .