Cálculo II: Secuencias crecientes / decrecientes

Question

Ok, tal vez soy muy malo con los exponentes o se me olvidó cómo funcionan los exponentes, pero cómo se hacen estos 2 problemas, esto es lo que tengo hasta ahora. Necesito decir si la secuencia es creciente, decreciente, y usar la regla de la razón y la regla de la diferencia para averiguarlo.

Regla de la proporción : $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

Regla de la diferencia : $a_{n+1}-a_n$

1. Tengo que usar la regla de la diferencia aquí.

   $a_n=n-2^n$ de $n=0$ a $\infty$

   Así que esto es lo que tengo:

   $$\left[(n+1)-2^{n+1}\right] - (n-2^n)=\\=(1-2^{n+1}) + 2^n$$ después de eliminar $n$

   A partir de aquí estoy atascado, la respuesta aparentemente es $1 - 2^n$ No sé cómo.

2. Tengo que usar la regla de la proporción aquí.

   $a_n=ne^{-n}$ de $n=0$ a $\infty$

   Así que esto es lo que tengo:

   $$\frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{ne^{-n}}$$

   Y yo estoy atrapado aquí.

Supongo que todo esto es una simplificación, pero estoy un poco perdido.

Gracias.

Answer 1

$$\left[(n+1)-2^{n+1}\right] - (n-2^n)=\\=(1-2^{n+1}) + 2^n=1+2^n-2\cdot2^n =1+2^n(1-2)=1-2^n<0,\forall n\ge1$$ por lo que esta secuencia es decreciente.

$$\frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{ne^{-n}}= \frac{ne^{-(n+1)}}{ne^{-n}}+\frac{e^{-(n+1)}}{ne^{-n}} =e^{-(n+1)-(-n)}+\frac{e^{-(n+1)-(-n)}}{n}=e+\frac{e}{n}>1, \forall n$$ por lo que esta secuencia es creciente.

Answer 2

En ambos casos, usted está casi terminado- 1. Tienes (1- 2^(n+1)) + 2^n = 1- 2*2^n + 2^n = 1 - 2^n(2 - 1) = 1 - 2^n < 0 para todo n natural. 2. Se tiene [(n + 1)/n]*e^(-n-1 -(-n))= ( 1 + 1/n)*1/e = e + (e/n) > e > 1, para todo n natural.