Constancia local del número arrollador, prueba por diferenciación

Question

¿Puede alguien explicar la prueba a la que se refiere Notas de Terren para Ex 45?

Lema 44: Dejemos que $\gamma$ sea una curva cerrada. Entonces $W_\gamma: z_0 \mapsto \int_{\gamma}\frac{1}{z-z_0} \, dz $ es localmente constante. Si $z_0 \notin Im(\gamma)$ entonces existe $D(z_0,r) \cap Im (\gamma) = \emptyset $ tal que $W_\gamma(z) = W_\gamma(z_0)$ para todos $z \in D(z_0,r)$ .

Ejercicio 45: Dar una prueba basada en la diferenciación bajo el signo integral y utilizando el hecho de que $\frac{1}{(z-z_0)^2}$ tiene una antiderivada lejos de $z_0$ .

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Lo que tenía en mente era $$ \Big| \frac{W_\gamma (a+h) - W_\gamma(a) }{h} \Big | = \Big | \int _\gamma \Big( \frac{1}{(z-z_0)^2}+\frac{1}{(z-a)(z-a-h)} \Big)\, dz \Big| \le |h||\gamma|M \rightarrow 0$$ como $h \rightarrow 0 $ para alguna constante $M$ . La segunda igualdad se deduce de la adición de $\int_\gamma \frac{1}{(z-z_0)^2} = 0$ . ¿Es esto correcto? ¿Y es esto lo que se pretendía?

Answer 1

Creo que la idea es simplemente que \begin{multline} W_\gamma'(w)=\frac{d}{dw}\oint_\gamma \frac{dz}{z - w} =\oint_\gamma\frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{1}{z-w} \right) dz = \oint_\gamma \frac{dz}{(z-w)^2}\\ = \oint_\gamma \frac{\partial}{\partial z}\left( -\frac{1}{z-w}\right)=-\frac{1}{\gamma(1)-w}+\frac{1}{\gamma(0)-w}=0,\end{multline} donde $\gamma : [0,1] \to \mathbb C$ es su contorno.

En la segunda línea, he utilizado el teorema fundamental del cálculo. A esto es a lo que alude la pista de su libro cuando habla de "primitivas".

Para justificar la "diferenciación bajo el signo integral" (es decir, conmutar la $\frac d {dw}$ derivada con la integral), se puede utilizar un argumento estándar que implica el teorema de convergencia dominada (véase aquí para más detalles). Pero creo que tu argumento es mejor. Ha demostrado que

$$ \left\vert \frac{W_\gamma(w + h) - W_\gamma(w)}h - \oint_\gamma \frac{dz}{(z-w)^2} \right\vert = \left\vert \oint_\gamma \frac{h \ dz}{(w-z-h)(w-z)^2} \right\vert \leq |h| |\gamma |M$$ para alguna constante $M > 0$ . (Por cierto, hay una errata en su pregunta). Y esto implica que $$W_\gamma'(w) = \oint_\gamma \frac{dz}{(z-w)^2} ,$$ que es lo que necesitamos.