Problema de demostración: demuestre que $n^a < a^n$ para todos los n suficientemente grandes

Question

Me gustaría demostrar que $n^a < a^n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ , donde $a$ es una constante finita.

Esto es claramente cierto por intuición/gráfico, pero estoy buscando una prueba rigurosa. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Establecer $f(n)=\frac{a^n}{n^a}$ ; tratamos de demostrar $f(n)>1$ para todos $n$ suficientemente grande. Reescribimos esto utilizando uno de los leyes de los exponentes como $$f(n)=\frac{e^{n \ln a}}{e^{a\ln n}}=e^{n\ln a-a\ln n}=e^{\ln n\left(\frac{n}{\ln n}\ln a - a\right)}$$

Por lo tanto, sólo tenemos que elegir $n$ lo suficientemente grande como para que $\frac{n}{\ln n}\ln a - a>0$ es decir, tal que $$\frac{n}{\ln n}>\frac{a}{\ln a}$$ Es fácil demostrar que $\frac{n}{\ln n}$ es una función creciente para $n\ge e$ (prueba a petición), por lo que para todo $n>\max(a,e)$ esto es cierto.

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PD: La afirmación es falsa si $a\le 1$ , por lo que debemos suponer $a>1$ .

Answer 2

Comprueba que la desigualdad falla si $a\le 1.$ Así que asumimos $a>1.$

Primero mostremos $n < a^n$ para grandes $n.$ Por el teorema del binomio, para $n\ge 2,$

$$a^n = (1+(a-1))^n = 1 + n(a-1) + n(n-1)(a-1)^2/2 + \cdots \ge n(n-1)(a-1)^2/2.$$

Es evidente que la última expresión es $>n$ para grandes $n.$

Para mostrar $n^a < a^n$ para grandes $n,$ nota que $a^{1/a}> 1.$ Por lo anterior, $n<(a^{1/a})^n$ para grandes $n.$ Esto es lo mismo que decir $n<(a^n)^{1/a},$ o $n^a < a^n,$ para grandes $n.$

Answer 3

Toma $\log$ de ambos lados $a \log n < n \log a $

Ahora vamos a comprobar quién crece más rápido $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n \log a}{a \log n}=\infty$ y $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a \log n}{n \log a}=0$

Answer 4

Basta con demostrar $\log(n^a)=a\log n<\log(a^n)n\log a$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ es decir $$\frac{\log n}n<\frac{\log a}a,$$ lo cual es cierto para todos los casos suficientemente grandes $n$ desde $\dfrac{\log n}n\to 0$ como $n\to\infty$ .

Answer 5

Lo que quieres es $n^{1/n} < a^{1/a}$ .

Desde $x^{1/x}$ tiene un máximo en $x=e$ y es decreciente para $x > e$ , $n^{1/n} < a^{1/a}$ si $e \le a < n$ .

Si $0 < a < 1$ , entonces, ya que $a^{1/a} < 1$ y $n^{1/n} > 1$ para $n > 1$ , $n^{1/n} > a^{1/a}$ para que no ocurra lo que quieres.

Si $a > 1$ , ya que $a^{1/a} > 1$ y $n^{1/n} \to 1$ como $n \to \infty$ , lo que usted quiere sucede para lo suficientemente grande $n$ .

Para obtener un límite simple en $n^{1/n}$ :

Por la desigualdad de Bernoulli, $(1+n^{-1/2})^n > 1+n(n^{-1/2}) =1+n^{1/2} \gt n^{1/2} $ . Levantando ambos lados a la $2/n$ poder, $(1+n^{-1/2})^2 \gt n^{1/n} $ o $n^{1/n} < (1+n^{-1/2})^2 < 1+3n^{-1/2} $ para $n > 1$ .

Por lo tanto, una condición suficiente para $n^{1/n} < a^{1/a}$ es $a^{1/a} > 1+3n^{-1/2} $ o $3n^{-1/2} < a^{1/a}-1 $ o $9/n < (a^{1/a}-1)^2 $ o $n > \dfrac{9}{(1+a^{1/a})^2} $ .