$K$ -grupos y grafos duales de fibras especiales

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo, y que $E$ sea una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}_p$ . Sea $\mathcal{E}_p$ sea la fibra especial del Modelo Néron de $E$ en $\mathbb{Z}_p$ y que $\mathcal{C}_p$ sea la fibra especial del modelo regular mínimo de $E$ en $\mathbb{Z}_p$

En su documento de 1986 " $K_2$ y $L$ -funciones de las curvas elípticas - cálculos informáticos" Bloch y Grayson (p. 82, 83) afirman que la primera $K$ -grupo $K_1'(\mathcal{E}_p)$ no es de torsión si $E$ tiene una reducción multiplicativa dividida en $p$ . En este caso tenemos $K_1'(\mathcal{E}_p)\cong \mathbb{Z}\oplus\mathrm{torsion}$ y su argumento es que esto se debe a que la primera homología del grafo dual de $\mathcal{C}_p$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ . Pero la única prueba de este hecho que he visto (en la tesis de Rolshausen) no utiliza el gráfico dual en absoluto. Nótese que el rango de la primera homología del grafo dual es igual al rango tórico $t_p$ de (el componente conectado de) $\mathcal{E}_p$ .

(1) ¿Cómo se puede utilizar el gráfico dual de $\mathcal{C}_p$ para demostrar que el rango de $K_1'(\mathcal{E}_p)$ es igual a $t_p$ ?

Es de suponer que una prueba de este tipo utilizaría la cohomología de étale, de la que desgraciadamente no tengo suficientes conocimientos.

Supongamos ahora que $C$ es una curva (suave y proyectiva) de género positivo definida sobre $\mathbb{Q}_p$ . Sea $\mathcal{C}_p$ sea la fibra especial del modelo regular mínimo de $C$ en $\mathbb{Z}_p$ . Sea $t_p$ sea el rango tórico de (la componente conectada de la fibra especial de) el modelo de Néron de $\mathrm{Jac}(C)$ en $\mathbb{Z}_p$ . Como en el caso anterior, esto es igual al rango de la primera homología del grafo dual de $\mathcal{C}_p$ .

(2) ¿Se sabe que el rango de $K_1'(\mathcal{C}_p)$ es igual a $t_p$ ?

Answer 1

Voy a dibujar la conexión en el caso de que la fibra especial $\mathcal{C}_p$ es un triángulo de tres copias cruzadas de $\mathbb{P}^1$ . Sea $Z$ sea el subesquema cerrado de $\mathcal{C}_p$ que consiste en las tres singularidades (con estructura inducida reducida), y $U\cong\bigsqcup_3\mathbb{G}_m$ su complemento abierto. Aplicando la secuencia de localización para $K'$ -teoría (y observando que $U$ y $Z$ son regulares) da una secuencia exacta $$K_1(Z) \to K_1'(\mathcal{C}_p) \to K_1(U)\to K_0(Z).$$ Primero, $K_1(Z)$ es la torsión y por lo tanto no contribuye a la pregunta. Ahora $K_1(U)\cong\mathbb{Z}^3$ y $K_0(Z)\cong\mathbb{Z}^3$ y si se calcula el mapa de límites, se ve que el complejo $K_1(U)\to K_0(Z)$ es exactamente el complejo que calcula la homología del grafo dual de $\mathcal{C}_p$ . Supongo que es un ejercicio para hacer la lista restante de posibles fibras especiales del modelo mínimo regular.

Alternativamente, se puede identificar $K_1'(\mathcal{C}_p)_{\mathbb{Q}}$ con la homología de Borel-Moore (como en Sección 2 de este documento de Kondo y Yasuda. )