Informática: $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\prod\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\right)^\frac{1}{n}$

Question

Trato de calcular el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\right)^\frac{1}{n}$$

Estoy interesado en la búsqueda de una razonable formas de resolver el límite. No me resulta fácil el enfoque. Cualquier sugerencia/sugerencia es muy bienvenida.

Answer 1

Todos los coeficientes binomiales, excepto la última, al menos,$n$, por lo que el $n$th raíz es al menos $n^{\frac{n-1}{n}}$, por lo que el límite es el infinito.

Answer 2

Comience con la identidad de $$\prod_{j=1}^n {n\choose j} =\prod_{k=1}^n {k^k\over k!}.$$ Desde $k^k/k!\to \infty$, lo mismo es cierto de su media geométrica: $$\left(\prod_{k=1}^n {k^k\over k!}\right)^{1/n}\to\infty.$$

Answer 3

Como señaló Phira y Byron Schmuland, el producto se bifurca. Me parece una expresión asintótica para el producto de un gran $n$, Eqn. (3) a continuación.

He encontrado la inspiración para esta solución en @sos440 la respuesta aquí.

Con un poco de trabajo, uno puede mostrar que $$\begin{equation*} \log \left(\prod_{k=1}^n{n\choose k}\right)^{1/n} = -\frac{n+1}{n}\log n! + (n+1)\log n + 2 \sum_{j=1}^n \frac{j}{n}\log\frac{j}{n}. \tag{1} \end{ecuación*}$$ Para una derivación de (1), véase a continuación. Usando la aproximación de Stirling, y el hecho de que $\sum_{j=1}^n \frac{j}{n}\log\frac{j}{n} \approx n\int_0^1 x \log x = -n/4$ (el error aquí es $O(\log(n)/n)$), tenemos $$\begin{equation*} \log \left(\prod_{k=1}^n{n\choose k}\right)^{1/n} \sim \frac{n}{2}+1 - \frac{1}{2} \log 2\pi n.\tag{2} \end{ecuación*}$$ Por lo tanto, $$\begin{equation*} \left(\prod_{k=1}^n{n\choose k}\right)^{1/n} \sim \frac{e^{n/2+1}}{\sqrt{2\pi n}}. \tag{3} \end{ecuación*}$$ Claramente el producto diverge. Para $n=10$, $100$, y $1000$ la izquierda y el lado derecho de (3) de acuerdo a $12\%$, $2.0\%$, y $0.28\%$, respectivamente.

A partir de (3) obtenemos el resultado $\lim_{n\to\infty} \left(\prod_{k=1}^n{n\choose k}\right)^{1/n^2} = \sqrt{e}$ gratis. (El uso de $\lim_{n\to\infty} x^{1/n} = 1$$0<x<1$.)

Derivación de Eqn. (1)

Tenga en cuenta que $$\begin{eqnarray*} \log \left(\prod_{k=1}^n{n\choose k}\right)^{1/n} &=& \log \left(\prod_{k=0}^n{n\choose k}\right)^{1/n} \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \log {n\choose k} \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \left(\log n! - \log k! - \log (n-k)! \right)\\ &=& \frac{1}{n} \left((n+1)\log n! - 2 \sum_{k=0}^n\log k! \right). \end{eqnarray*}$$ Pero $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n\log k! &=& \sum_{k=1}^n\log k! \\ &=& \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k \log j \\ &=& \sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n \log j \\ &=& \sum_{j=1}^n (n+1-j) \log j \\ &=& (n+1)\sum_{j=1}^n \log j - \sum_{j=1}^n j (\log j -\log n + \log n) \\ &=& (n+1)\log n! - \frac{n(n+1)}{2} \log n - \sum_{j=1}^n j\log\frac{j}{n}. \end{eqnarray*}$$ Eqn. (1) se sigue inmediatamente.

Algunas de las principales identidades: $$\begin{eqnarray*} \log n! &=& \sum_{k=1}^n \log k \\ \sum_{k=j}^n 1 &=& n+1-j \\ \sum_{k=1}^n k &=& \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k a_{j k} &=& \sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n a_{j k} \end{eqnarray*}$$