Funciones propias y valores propios de un operador lineal

Question

Para un proyecto de matemáticas sobre la ecuación de Schroedinger en el que estamos trabajando un compañero y yo, necesitamos encontrar funciones propias y valores propios que satisfagan $L\phi_n = \lambda_n\phi_n$ , donde $L$ se define como $L\psi = \frac{\partial}{\partial x}[D \frac{\partial \psi}{\partial x}]$ y D es una constante negativa y $\phi = 0$ en $x = L$ y $x = 0$ .

Mi compañero y yo hemos estado trabajando en esta parte durante los últimos días y no hemos sido capaces de llegar a una respuesta con la que estemos contentos. Nuestro profesor dijo que deberíamos acabar con algo de la forma $\phi_n = A_ni\sin{\sqrt{\lambda}x}+B_n\cos{\sqrt{\lambda}x}$ . Sin embargo, no estamos seguros de cómo llegar allí desde la ecuación original.

Partiendo de la definición, obtenemos $-D\frac{\partial^2\phi_n}{\partial x^2} = \lambda_n\phi_n$ . Resolver para $\lambda$ da $-D\frac{\frac{\partial^2\phi_n}{\partial x^2}}{\phi} = \lambda_n$ . Desde $\frac{\partial^2\phi_n}{\partial x^2}$ debe ser igual a $\phi$ que hace que parezca que $\lambda = i\sqrt{D}$ y $\phi = e^{i\sqrt{D}x}$ . No tenemos claro cómo las transiciones exponenciales en $\sin$ y $\cos$ y donde las constantes $A_n$ y $B_n$ o si hemos adoptado el enfoque correcto hasta ahora.

Answer 1

Ecuaciones diferenciales de la forma $y''(x)+\lambda y(x)=0$ tienen soluciones $e^{\sqrt{-\lambda} x}$ , $\cos(\sqrt{\lambda} x)$ y $\sin(\sqrt{\lambda} x)$ . En cuanto a su derivación, se puede utilizar una expansión en serie de potencias u otro método tradicional. Desgraciadamente, no hay una solución de forma cerrada para las ecuaciones diferenciales de segundo orden si no se conoce ya una solución (es decir, si te digo una solución, no es difícil encontrar una segunda, pero encontrar la primera es típicamente una cuestión de conjeturas).

Como la diferenciación es una operación lineal, es decir, como $\frac{d}{dx} cf(x)=c(\frac{d}{dx} f(x))$ con $c\in \mathbb{R}$ y $\frac{d}{dx} f(x)+g(x)=\frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$ Sabemos que podemos tomar cualquier combinación lineal de las soluciones indicadas al principio y que todas estas combinaciones lineales seguirán satisfaciendo nuestra ecuación diferencial. Esto está muy relacionado con la razón que podemos obtener de $e^{-\sqrt{\lambda}x}$ siendo una solución a nuestras soluciones de la función trigonométrica: ya que la función está compuesta por argumentos imaginarios y reales independientes, sabemos que ambos argumentos deben ser soluciones por sí mismos ya que no puede producirse ninguna cancelación. Espero que te sirva de ayuda.