Demostrar que $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^n-1}<n$ para $n\geq{2}$

Question

Intenté usar la inducción matemática para demostrar esto, pero el problema que enfrenté fue que hay muchos números entre $\frac{1}{2^k-1}$ y $\frac{1}{2^{k+1}-1}$ . ¿Es posible demostrar esto con la inducción o hay un método mejor?

Answer 1

$$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}=1+\left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2-1}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^3-1}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}\right)<n, $$ desde $$ \frac{1}{2^{k-1}}+\cdots+\frac{1}{2^k-1}<2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^{k-1}}=1. $$

Answer 2

SUGERENCIA: Intenta una prueba por inducción. En tu paso inductivo, resta $n=k$ de $n=k+1$ para esta expresión: $$\sum_{r=2^k}^{2^{k+1}-1}{\frac 1r}<1$$ A ver si puedes resolverlo.

Answer 3

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^n-1}\approx \int_{2}^{2^n} \frac{1}{k-1}dk$$$$ = ln(2^n-1) = S < ln(2^n) =nln2 =0,693147n<n $$ for $ n\geq{2}$

Por lo tanto, se ha demostrado

Answer 4

Dadas las pistas anteriores, tenemos durante el proceso de inducción que

$$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...+\frac{1}{2^{n+1}-1}<1$$

Si multiplicamos ambos lados por $2^n$ y observe que hay $2^n$ términos que se añaden, tenemos que

\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{2^n}+\frac{2^n}{2^n+1}+\frac{2^n}{2^n+2}+...+\frac{2^n}{2^{n+1}-1}&<&2^n\\1+\frac{2^n+1-1}{2^n+1}+\frac{2^n+2-2}{2^n+2}+...+\frac{2^n+(2^n-1)-(2^n-1)}{2^{n}+2^n-1}&<&2^n \\1+1-\frac{1}{2^n+1}+1-\frac{2}{2^n+2}+...+1-\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}&<&2^n\\2^n-\frac{1}{2^n+1}-\frac{2}{2^n+2}-...-\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}&<&2^n\\-\left(\frac{1}{2^n+1}+\frac{2}{2^n+2}+...+\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}\right)&<&0 \end{eqnarray*}

lo cual es cierto para todos los $n\ge2$