"El problema de geometría más difícil del mundo"

Question

Esta pregunta es un "corolario" (si se quiere) de la El problema de geometría más difícil del mundo (sitio web externo). Formalmente, esto se llama El problema de Langley . El objetivo de ese problema era resolver el ángulo $x^{\circ}$ con los ángulos dados de $10^{\circ}, 70^{\circ}, 60^{\circ}, 20^{\circ}$ . Alguien presentó un solución a ese problema. Aquí también hay una solución colorida e interactiva a un problema como este, pero con diferentes ángulos.

Ahora, quería generalizar este problema, sustituyendo los ángulos de $10^{\circ}, 70^{\circ}, 60^{\circ}, 20^{\circ}$ con ángulos de $W^{\circ}, X^{\circ}, Y^{\circ}, Z^{\circ}$ respectivamente (véase la imagen inferior).

¿Cómo podemos obtener una expresión analítica del ángulo $x^{\circ}$ en términos de $W^{\circ}, X^{\circ}, Y^{\circ}, Z^{\circ}$ ?

Answer 1

Bueno, voy a dar una guía a seguir, no una expresión final. Te llamé ángulo desconocido como $\alpha_9$ (para no ensuciar, porque tienes un gran $X$ y un pequeño $x$ ).
Como sabes $x$ y $y$ entonces sabes $\alpha_4$ .
Como sabes $x$ , $w$ , $z$ y $y$ entonces sabes $\alpha_1$ .
Como sabes $x$ y $\alpha_5$ entonces sabes $\alpha_3$ .
Como sabes $w$ y $\alpha_5$ entonces sabes $\alpha_6$ .
Entonces se termina con un sistema de $4$ ecuaciones: $$ \begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_7=\pi \\ \alpha_4+\alpha_8+\alpha_9=\pi \\ \alpha_2+\alpha_3+\alpha_9=\pi\\ \alpha_6+\alpha_7+\alpha_8=\pi \end{cases} $$ con $4$ desconocidos: $\alpha_2, \alpha_7, \alpha_8, \alpha_9$ . Y $\alpha_9$ es lo que está buscando.

Answer 2

¡He encontrado la ecuación!

Primero intenté insertar la ecuación de látex directamente aquí, pero eso era feo, así que la rendericé por separado e inserté una imagen en su lugar:

Answer 3

En principio, no hay ningún problema para obtener un expresión para el ángulo superior en términos de los inferiores. Sea el punto de intersección no etiquetado en la imagen $I$ . Que el lado inferior sea $1$ . Podemos utilizar la ley del seno para encontrar $AI$ y $BI$ . También podemos encontrar $AD$ y $BE$ y ahora sabemos $ID$ y $IE$ para que podamos resolver el ángulo del misterio.

Esto no da lugar a una bonito expresión para el ángulo misterioso, pero es una expresión.

Answer 4

Si se traza una línea perpendicular desde A y se prolonga la línea DE hasta una intersección en, digamos, X, los dos triángulos resultantes permiten determinar los ángulos iguales XEA y AEB a 40 grados. El ángulo BED es entonces de 100 grados y "x" es de 30 grados.

¿Pensar fuera del triángulo(s)?