Una clase de pares $(f,g)$ de funciones.

Question

Jugando con las transformadas de coseno y seno de Fourier, me pregunto si se sabe algo sobre la clase (conjunto) de pares de funciones $(f,g)$ tal que

$$\int_0^\infty f(x)\cos(xt)dx\equiv \int_0^\infty g(x)\sin(xt)dx\tag{1}$$

?

Answer 1

¿Hay alguna razón por la que sólo estás integrando de $0$ a $\infty$ (en lugar del habitual $-\infty$ a $\infty$ ?)

De cualquier manera, $$\hat f_c(t) = \int_{0}^\infty f(x) \cos(xt)\,dx$$

es necesariamente uniforme en función de $t$ y

$$\hat g_s(t) = \int_{0}^\infty g(x) \sin(xt)\,dx$$

es necesariamente impar, por lo que las dos transformaciones deben ser $0$ . Si los límites fueran $-\infty,\infty$ Entonces, esto sólo implicaría $f$ es impar y $g$ es uniforme, y no mucho más.