Esta definición se basa en un hecho clave sobre la topología PL (o suave): si $h: S^3 \to S^3$ es un homeomorfismo PL que preserva la orientación, entonces existe una isotopía $H : [0,1]\times S^3\to S^3$ tal que $H_0=\operatorname{id}_{S^3}$ y $H_1=h$ . Esto se debe a que el grupo de clases de mapeo de $S^3$ es trivial. Como $h(L_1)=L_2$ entonces $H_t|_{L_1}:L_1\to S^3$ es una isotopía de $L_1$ a $L_2$ mediante incrustaciones de PL.
El no restringido $H$ se conoce como una isotopía ambiental. Lo que se quiere de una definición de isotopía de nudos es la extensión de isotopías a isotopías ambientales. Intuitivamente, el arrastre de los nudos debería extenderse también al arrastre del espacio ambiental. ¿Por qué? Quieres que cualquier tipo de estructuras periféricas, como las superficies de Seifert, puedan seguir también la isotopía. Si tienes una familia continua $h:[0,1]\times S^1 \to S^3$ de incrustaciones de PL, entonces esto se extiende efectivamente a una isotopía ambiental. Y como el grupo de clases de mapeo es trivial, el único dato que se necesita de esto es el único homeomorfismo de PL que preserva la orientación de $S^3$ que lleva el nudo al resultado final de la isotopía.
Hay un detalle extraño aquí: mientras $h:S^3\to S^3$ hace provienen de una isotopía ambiental, puede haber muchas isotopías ambientales de las que provienen que no son isotópicas entre sí (sí, isotopías no isotópicas :-)). Esto puede ocurrir cuando un nudo es una suma de conexión: una suma de conexión de dos nudos trébol diestros tiene una isotopía que intercambia los dos sumandos de conexión, y esta isotopía debe ser no isotópica a la isotopía de identidad. Sin embargo, este detalle no importa para la definición de equivalencia de nudos.
