La secuencia $(X_1, \dotsb, X_r)$ es intercambiable . En efecto, la distribución conjunta de los $X_i$ sólo depende del número de $X_i$ que son iguales a $1$ .
Para ver esto considere el caso $r=3$ . Entonces $$ P(X_1=1, X_2=0, X_3=1)=\frac{n(m)(n-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m-2)}=P(X_2=1, X_3=0, X_1=1). $$
utilizando la descomposición $P(X_1=1, X_2=0, X_3=1)=P(X_1=1)P(X_2=0\mid X_1=1)P(X_3=1\mid X_2=0, X_1=1)$ para la primera igualdad y algo similar para la segunda. Más sencillamente, estamos considerando el número de bolas rojas y negras que quedan después de cada sorteo y multiplicando las probabilidades correspondientes.
En general, para cualquier tupla binaria $(x_1, x_2, x_3)$ la probabilidad $P(X_1=x_1, \dotsc, X_3=x_3)$ será una fracción con el mismo denominador que la anterior y un numerador de la forma $n(n-1)\dotsb(n-a+1)\times m(m-1)\dotsb(m-u+1)$ donde $a$ es el número de unos en la secuencia $(x_1, \dotsc, x_3)$ y $u$ el número de ceros. Esta probabilidad es invariable a las permutaciones de los índices del $X_i$ . Podemos argumentar de forma similar en el caso general para un $r\geq 0$ .
En particular, esto significa que todas las distribuciones marginales del $X_i$ son iguales entre sí. Por ejemplo $$ P(X_2=1)=\sum P(X_2=1, X_1=a_1, \dotsc, X_r=a_r)=\sum P(X_1=1, X_2=a_1, \dotsc, X_r=a_r)=P(X_1=1) $$ donde en la segunda igualdad utilizamos la intercambiabilidad, intercambiando los índices de $X_1$ y $X_2$ y fijando todos los demás índices. Pero por supuesto $$ P(X_1=1)=\frac{n}{n+m}. $$ El número de bolas negras extraídas en los r sorteos $X$ se encuentra entonces por la linealidad de la expectativa. En efecto, $X=\sum_{i=1}^r X_i$ de donde $$ EX=\sum_{i=1}^r EX_i=\sum_{i=1}^r P(X_i=1)=\frac{rn}{n+m} $$