¿Continuidad uniforme de la composición?

Question

Si consideramos $f\circ u$ y saber que

• f está acotada y es uniformemente continua
• u está acotado y es continuo

¿implica esto que $f\circ u$ está acotado y es uniformemente continuo?

Está claro que está acotado.

Pero no me queda claro si es uniformemente continua. Seguramente es continua.

Answer 1

La respuesta es no. Puede dar el siguiente contraejemplo. Que su dominio sea $(0,1)$ , $f(x)= x$ y $g(x)= x^2$ . Entonces $f(g(x))= f(x^2)= x^2$ que es acotado, continuo, pero no uniformemente continuo en el dominio dado.