¿Cómo encontrar una fórmula para estas secuencias generadoras?

Question

Se da que $a_{0}=1$ , $b_{0}=0$ , $c_0=0$

$$ c_n= xc_{n-1}+x(x-1)a_{n-1}(3b_{n-1}+(x-2)a_{n-1}^{2})) $$

$$ b_n=xb_{n-1}+x(x-1)a_{n-1}^{2} $$

$$ a_n=xa_{n-1}+1 $$

donde x es una constante cualquiera.

¿Existe algún método para obtener una fórmula para $c_n$ en términos de $c_0$ ¿y x?

Answer 1

SUGERENCIA: $$a_n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ si $x\ne 1$ e insertando este término en la siguiente ecuación obtenemos $$b(n)=x^{n-1} \left(c_1+\frac{x^2 \left(-x^{-n}+x^{n+3}-(2 n+3) x^2+(2 n+3) x\right)}{(x-1)^2}\right)$$