En la terminología de las especies combinatorias tenemos las dos especies $$\mathcal{A} = \mathfrak{P}(\mathfrak{C}_{=1}(\mathcal{Z}) +\mathfrak{C}_{=3}(\mathcal{Z}) +\mathfrak{C}_{=5}(\mathcal{Z}) +\mathfrak{C}_{=7}(\mathcal{Z}) +\cdots)$$
que se traduce en la función generadora $$A(z) = \exp\left(\sum_{q\ge 0} \frac{z^{2q+1}}{2q+1}\right) = \exp\log\frac{1}{1-z} \exp\left(-\sum_{q\ge 1} \frac{z^{2q}}{2q}\right) \\= \frac{1}{1-z} \exp\left(-\frac{1}{2}\log\frac{1}{1-z^2}\right) = \frac{\sqrt{1-z^2}}{1-z} = \sqrt{\frac{1+z}{1-z}}.$$
Para la segunda parte necesitamos la especie $$\mathcal{B} = \mathfrak{P}(\mathcal{U}\mathfrak{C}_{=1}(\mathcal{Z}) +\mathcal{U}\mathfrak{C}_{=2}(\mathcal{Z}) +\mathcal{U}\mathfrak{C}_{=3}(\mathcal{Z}) +\mathcal{U}\mathfrak{C}_{=4}(\mathcal{Z}) +\cdots)$$
que da la función generadora $$G(z, u) = \exp\left(u\log\frac{1}{1-z}\right)$$ para que $$B(z) = \frac{1}{2} \exp\left(+\log\frac{1}{1-z}\right) + \frac{1}{2} \exp\left(-\log\frac{1}{1-z}\right) \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{1-z} + \frac{1}{2} (1-z).$$
Esto significa que una permutación sobre cero elementos consta de un número par de ciclos y la permutación sobre un elemento consta de un número impar de ciclos y cuando $n\gt 1$ exactamente la mitad de las permutaciones están formadas por un número par de ciclos.
Observación. El primer FEAG produce $$1, 1, 3, 9, 45, 225, 1575, 11025, 99225, 893025, 9823275, 108056025,\ldots$$
que es OEIS A000246 que puede consultarse para obtener lecturas adicionales.
