Grupo de presentación finita en el que cada elemento es conjugado a su cuadrado

Question

¿Existe un grupo no trivial finitamente presentado en el que cada elemento es conjugado a su cuadrado? ¿Es un problema abierto?

Motivación: Jahren demostró en [Geom Dedicata (2010)] que si $M$ es una variedad cerrada de dimensión $\ge 5$ tal que $\pi_1(M)$ tiene un elemento no conjugado con su cuadrado, entonces el espacio de pseudoisotopía suave para $M$ no está conectado.

Existen ejemplos generados finitamente: Osin construido un grupo libre de torsión f.g. infinito en el que todos los elementos no triviales son conjugados.

Answer 1

Naturalmente, uno se ve llevado a considerar el caso simple, y me pregunto si los ejemplos de Graham Higman de 1951 podrían ser suficientes. En J. Lond. Math. Soc. 26 (1951), 61-64, Higman da ejemplos de grupos presentados utilizando 4 generadores con 4 relaciones. (Se puede sustituir el 4 por un número entero mayor.) Según estas relaciones, cada uno de los cuatro generadores es conjugado con su cuadrado. Por supuesto, esto no garantiza que cada tiene esta propiedad. Quizá alguien pueda añadir por qué los ejemplos de Higman responden o no a la pregunta.