$\frac{d(v^2)}{dx} = \frac{d((dx/dt)^2)}{dx}$ Derivada de la velocidad al cuadrado con respecto a la posición

Question

$$\frac{d(v^2)}{dx} = d\frac{((dx/dt)^2)}{dx}$$

Físicamente tiene sentido: cómo cambia la velocidad al cuadrado con respecto a su posición.

¿Cuál sería la solución analítica?

$$\frac{d((dx/dt)^2)}{dx} = \frac{dx}{dt}\,d\frac{(dx/dt)}{dx} = ?$$

Answer 1

Utilizando la regla de la cadena se obtiene

$$\begin{align} \frac{dv^2}{dx}&=\frac{dv^2}{dt}\frac{dt}{dx}\\\\ &=\frac{\color{blue}{\frac{dv^2}{dt}}}{\color{red}{\frac{dx}{dt}}}\\\\ &=\frac{\color{blue}{2v\frac{dv}{dt}}}{\color{red}{v}}\\\\ &=2a \end{align}$$

donde $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ es la aceleración.