¿Cuál es la suma de todos los números de 4 cifras que se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3 cuando no se permite la repetición?
Todo lo que he podido hacer es averiguar que habrá $18$ tal $4$ números de dígitos ..pero estoy atascado y me gustaría saber cómo podríamos proceder con esto.
Además, ¿cómo abordaríamos este problema si se permitiera la repetición?
Encontraremos sumas en cada lugar (unidades, decenas, etc.) y las sumaremos.
En miles de lugares cada uno de $1,2,3$ se produce $6$ tiempos. La suma es $6(1+2+3)\cdot 1000=36000$ .
Para el lugar de las centenas, primero miramos los números con la cifra de los miles $1$ . Son seis números en los que cada uno de $2,3,0$ ocurre dos veces. Por lo tanto, en el $18$ nos, cada uno de $1,2,3$ se produce $4$ veces mientras $0$ se produce $18-3\cdot 4=6$ veces como se esperaba. La suma en el lugar de los cientos es $4(1+2+3)\cdot 100=2400$ .
Las sumas en los lugares de las decenas y las unidades son similares - $240$ y $24$ respectivamente.
La suma deseada es $36000+2400+240+24=38664$ .
El caso de la repetición es exactamente similar y probablemente más fácil.
Tenemos $3\cdot 4^3$ nos en total, con $4^3$ empezando por $1,2,3$ cada uno. La suma en el lugar de los miles es $4^3(1+2+3)\cdot 1000$
Para el lugar de las centenas, fijemos cualquier dígito como $$\square \, 0 \, \square \, \square$$ Habrá $3\cdot 4^2=48$ ocurrencias de la cifra fija. Así, la suma en el lugar de la centena es $48(0+1+2+3)\cdot 100$ .
Del mismo modo, en el lugar de las decenas y las unidades - $48(0+1+2+3)\cdot 10$ y $48(0+1+2+3)\cdot 1$ resp.
La suma deseada es $$(1+2+3)(64000 + 48\cdot 111) = 415968$$
Sería fácil escribir cuatro espacios en blanco uno al lado del otro, y luego tratar de ver cuántas opciones posibles se pueden rellenar en cada bloque que satisfagan la condición.
_____ ______ _____ _____Compruebe los diferentes casos en los que se permite la repetición y en los que no se permite la repetición.
Para el caso 1, al permitirse la repetición, hay 3 opciones para el primer espacio en blanco (0 no incluido), 4 para los tres siguientes. Por lo tanto, el número total de opciones, según el principio de recuento, es de 3 * 4 * 4 * 4 = 192
En el caso 2, al no permitirse la repetición, hay 3 opciones para el primer espacio en blanco, 3 para el siguiente, 2 para el tercero y 1 para el último. Así que el número total de opciones, total=3 * 3 * 2 * 1=18.
Para el caso de no repetición:
En el lugar de las unidades, cada una de $1,2,3$ aparecen el mismo número de veces que el número de $3$ -Números de dígitos formados a partir de $0$ y otros dos dígitos de ${1,2,3}$ para contribuir a una suma de $$(3!-2)(1+2+3)$$ Lo mismo ocurre con el lugar de las decenas y las centenas: $$(3!-2)(10+20+30)+(3!-2)(100+200+300)$$
Para el lugar de los miles, fijar un dígito allí nos presta $3!$ opciones para organizar los otros dígitos, ya que no hay ninguna restricción para $0$ ahora. Esto aporta una suma de $$3!(1000+2000+3000)$$ y sumando las tres expresiones se obtiene la respuesta.
Para el caso de la repetición:
Arreglar uno de $1,2,3$ en el lugar de las unidades. Tenemos $4$ opciones para todos los demás lugares, excepto el lugar de los miles, en el que tenemos $3$ opciones. Esto da $$4^2\cdot 3(1+2+3)$$ Lo mismo ocurre con las decenas y las centenas: $$4^2\cdot 3(10+20+30+100+200+300)$$
Para el lugar de los miles, fijar un dígito nos presta $4^3$ esos números: $$4^3(1000+2000+3000)$$
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