Demostrando que $x+ cos x - 1 > 0$ para todos $x > 0$

Question

Tengo este problema:

Demuestre que para todo $0<x$ , $0<x+cos x - 1$

Intenté mostrarlo varias veces pero ninguna funcionó.

He demostrado que $lim_{x\to\infty} (x+cos x - 1) = \infty$ utilizando la forma de apretar para los límites infinitos. Y así conseguí que para cada $0<M$ existe $0<N$ tal que para todo $N<x$ , $M<x+cos x -1$ . Pero no pude demostrar que para todos $0<x$ , $0<x+cos x - 1$ .

Luego traté de mostrarlo usando la derivada pero parece que no ayuda.

Answer 1

Dejemos que $f(x)=x+\cos x-1$ . Tenemos $f(0)=0$ . Demostrar que $f'(x)\ge 0$ para $x\gt 0$ . De ello se desprende que $f$ es no decreciente en el intervalo $[0,\infty)$ .

Tenga en cuenta que $f'(x)\gt 0$ en, por ejemplo, el intervalo $[0,\pi/6)$ . Así que $f$ es estrictamente creciente en este intervalo, y por lo tanto es positivo para todo $x\gt 0$ . (En realidad, $f$ es estrictamente creciente en todo el intervalo $[0,\infty)$ .)

Observación: La estrategia que hemos utilizado es la habitual. Para demostrar que $g(x)\gt h(x)$ en un intervalo, a menudo es útil dejar que $f(x)=g(x)-h(x)$ y estudiar el comportamiento creciente/decreciente de $f(x)$ con las herramientas habituales.

Answer 2

Si $f\left(x\right)=x+\cos x-1$ entonces $f'\left(x\right)=1-\sin x\geq 0$ mostrando que la función no es decreciente en ninguna parte. En segundo lugar $f'(x)>0$ en $\left(0,\pi\right)$ mostrando que es creciente en ese intervalo. Esto implica que $f\left(x\right)>f\left(0\right)=0$ para $x>0$ .

Answer 3

En realidad dejemos que f(x)=x+cos(x)-1,f '(x)=1-sin(x) $\geqslant$ 0, por lo que f(x) es una función creciente, notando que f(0)>0, por lo que, f(x)>0 es verdadera cuando x>0.