Gradiente y curvatura de la superficie

Question

Estoy tratando de familiarizarme con el operador de gradiente de superficie, es decir $\nabla_S = (I-\mathbf{n}\mathbf{n})\cdot \nabla$ , donde $\mathbf{n}$ es la normal unitaria a la superficie y $I$ el tensor de identidad.

He visto en un artículo que, para una superficie axisimétrica, la curvatura media es $\kappa = \nabla \cdot\mathbf{n} = \nabla_S \cdot \mathbf{n}$ Sin embargo, no puedo conseguir este último. Podemos definir la superficie como $f = r - a(z)$ Por lo tanto $\mathbf{n} = \nabla \, f / ||\nabla \,f|| = 1/\sqrt{1+(a')^2} \, \mathbf{e_r} -a'/\sqrt{1+(a')^2} \, \mathbf{e_z} = (1/\sqrt{1+(a')^2},0,-a'/\sqrt{1+(a')^2})$ y..:

$\kappa = \nabla \cdot \mathbf{n} = \dfrac{1}{a\sqrt{1+(a')^2}} - \dfrac{a''}{[1+(a')^2]^{3/2}}$

Sin embargo, no obtengo el mismo resultado con el operador de superficie,

$\nabla_S = (I-\mathbf{n}\mathbf{n})\cdot \nabla = \left(\frac{(a')^2}{1+(a')^2}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{a'}{1+(a')^2}\frac{\partial }{\partial z},0,\frac{a'}{1+(a')^2} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{1+(a')^2} \frac{\partial}{\partial z}\right)$ ,

$\nabla_S \cdot \mathbf{n} = - \dfrac{a''}{[1+(a')^2]^{3/2}}$ ,

que no es más que la contirbución axial de la curvatura media. ¿Es esto correcto y el documento está equivocado? ¿O estoy cometiendo un error en el procedimiento?

Answer 1

Tenemos $$ \nabla \cdot \mathbf{n} - \nabla_S \cdot \mathbf{n} = \mathbf{n} \cdot ( (\mathbf{n} \cdot \nabla)\mathbf{n} ) = ( (\mathbf{n} \cdot \nabla)\mathbf{n} ) \cdot \mathbf{n}. $$ Pero esto es igual a $\frac{1}{2} (\mathbf{n} \cdot \nabla)(\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = \frac{1}{2}(\mathbf{n} \cdot \nabla)1 = 0 $ . (Para ver esto más claramente, utilice la convención de la suma: $n_i n_j \partial_j n_i = \frac{1}{2} n_j \partial_j (n_i n_i)$ .)

¿Cómo se traduce esto en el ejemplo? Tomando prestada la fórmula de la derivada material de la Wikipedia, $$ (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} = \left(A_\rho \frac{\partial B_\rho}{\partial \rho}+\frac{A_\varphi}{\rho}\frac{\partial B_\rho}{\partial \varphi}+A_z\frac{\partial B_\rho}{\partial z}-\frac{A_\varphi B_\varphi}{\rho}\right) \hat{\boldsymbol \rho} \\ + \left(A_\rho \frac{\partial B_\varphi}{\partial \rho} + \frac{A_\varphi}{\rho}\frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi} + A_z\frac{\partial B_\varphi}{\partial z} + \frac{A_\varphi B_\rho}{\rho}\right) \hat{\boldsymbol \varphi}\\ + \left(A_\rho \frac{\partial B_z}{\partial \rho}+\frac{A_\varphi}{\rho}\frac{\partial B_z}{\partial \varphi}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\right) \hat{\mathbf z}, $$ la mayoría de los cuales desaparece (todos los componentes son independientes de $\theta$ , $n_{\theta}=0$ , $n_r,n_z$ dependen únicamente de $z$ ). Los términos que quedan son $$ (\mathbf{n} \cdot \nabla) \mathbf{n} = \left(n_z\frac{\partial n_r}{\partial z}\right) \mathbf{e}_r + \left(n_z\frac{\partial n_z}{\partial z}\right) \mathbf{e}_z = n_z \left( \frac{\partial n_r}{\partial z} \mathbf{e}_r + \frac{\partial n_z}{\partial z} \mathbf{e}_z \right). $$ Punteado con $\mathbf{n}$ encontramos $ n_z ( n_r \partial_z n_r + n_z \partial_z n_z ) = \frac{1}{2} n_z \partial_z (n_rn_r+n_zn_z) = 0 $ como antes. Profundizando, $$\partial_z n_r = -\frac{a'a''}{(1+a'^2)^{3/2}}, \qquad \partial_z n_z = -\frac{a''}{(1+a'^2)^{3/2}}, $$ y entonces el resultado es obvio.

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Yendo hacia el otro lado, $$ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{n} \cdot \nabla) \mathbf{B} = \left(n_r \frac{\partial B_r}{\partial r}+n_z\frac{\partial B_r}{\partial z}\right) n_r \\ + \left(n_r \frac{\partial B_z}{\partial r}+n_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\right) n_z = \frac{\partial_r B_r-a' \partial_z B_r - a' \partial_r B_z + a'^2 \partial_z B_z}{1+a'^2}, $$ Por supuesto, si $\mathbf{B}=\mathbf{n}$ Sólo dos de ellos sobreviven, y se anulan como antes.