Determinar $n$ ensayos con aproximación normal de la distribución binomial

Question

Dejemos que $p=0.1$ sea la probabilidad de que un dado producido se rompa. Ahora quiero calcular cuántos dados hay que producir para asegurar con al menos $99$ % de probabilidad de que al menos 1000 dados no se rompan.

Obviamente, esto sigue una distribución binomial: $X \sim Bin(n, 0.9)$ , donde $n$ es la variable que quiero determinar. Sé que para los grandes $n$ podemos aproximarnos por una distribución normal.

$$\mathbb{P}(X \geq 1000) \geq 0.99 => 1 - \mathbb{P}(X \leq 1000 - 1) \geq 0.99 => 1 - \Phi(\frac{999-0.9n}{\sqrt{0.9n(1-0.9)}}) \geq 0.99$$

¿Cómo puedo determinar $n$ ?

Answer 1

$$1-\Phi\left(\frac{1000-0.9n}{\sqrt{0.1n(1-0.1)}}\right)\geq 0.99$$ equivale a $$ \Phi\left(\frac{1000-0.9n}{\sqrt{0.1n(1-0.1)}}\right)\leq 0.01 $$ Utilice la tabla de distribución normal estándar o la función de Excel Norma.S.Inv para conseguir $$ \frac{1000-0.9n}{\sqrt{0.1n(1-0.1)}}\leq \Phi^{-1}(0.01)\approx-2.326 $$ Y luego resolver la desigualdad cuadrática con respecto a $\sqrt{n}$ $$ 1000-0.9n \leq -2.326 \sqrt{0.09n}=-2.326\times0.3\sqrt{n} $$ El resultado es $n\geq 1137.26$ . Desde $n$ es un número entero, debemos tomar $n\geq 1138$ .

También podemos comprobar la precisión mediante la función de Excel Binomio.Dist : $$=1-\text{BINOM.DIST}(999;1138;0.9;1) = 0.991376330173266 > 0.99,$$ y $$=1-\text{BINOM.DIST}(999;1137;0.9;1) = 0.989229871716899 < 0.99.$$