Concluir que $\sigma$ es una medida en el colector $E := \{x \in \Bbb R^5: x_1, x_2 \in \Bbb R, x_3 = x_1 + x_2, x_4 = 1, x_5 = 2\}$

Question

Dejemos que

$$E := \{x \in \Bbb R^5: x_1, x_2 \in \Bbb R, x_3 = x_1 + x_2, x_4 = 1, x_5 = 2\}$$

sea una variedad. Además, dejemos que

$$\phi: \Bbb R^2 \rightarrow E$$

sea un gráfico y $\sigma$ la medida de la superficie. Se puede suponer que $(E, B(E))$ es un espacio medible.

Demuestre que existe un $c \in \Bbb R$ tal que

$$\sigma(A) = c\lambda^2(\phi^{-1}(A))$$

y concluir que $\sigma$ es una medida.

Dado que la medida de la superficie $\sigma$ es independiente del gráfico que elijamos, definimos un nuevo gráfico $\phi: \Bbb R^2 \rightarrow E$ por

$$\phi(x_1, x_2) := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}.$$

Por definición de la medida de la superficie y de la integral en las variedades, se deduce que (para $X_A$ siendo el función de indicador )

$$\sigma(A) = \int_A 1 d\sigma = \int_E X_A d\sigma = \int_{\Bbb R^2} X_A(\phi(x_1, x_2)) \sqrt {g} \ d\lambda^2(x, y).$$

$g$ se refiere al determinante de la matriz gramiana de $M$ con respecto a $\phi$ . Un poco de cálculo da $g = 4$ Por lo tanto $\sqrt g = 2$ que es una constante, por supuesto. Por lo tanto, la integral anterior se puede escribir como

$$2 \int_{\Bbb R^2} X_A(\phi(x, y)) d\lambda^2(x, y) = 2 \int_{\Bbb R^2} X_{\phi^-1(A)} d\lambda^2(x, y).$$

Para las medidas generales $\theta$ en un conjunto $\Omega$ conocemos la identidad

$$\theta(A) = \int_{\Omega} X_A d\theta.$$

Por lo tanto, la integral anterior es idéntica a

$$2 \lambda^2(\phi^{-1}(A))$$

con $c := 2$ siendo nuestra constante deseada,

así que

$$\sigma(A) = c \lambda^2(\phi^{-1}(A)).$$

Esto es idéntico a la definición del Medida de empuje que hace que $\sigma(A)$ una medida también.

¿Es una solución decente?

Answer 1

Hay dos problemas con su solución: uno menor y otro mayor.

La menor es que la primera forma fundamental (es decir, la métrica de Riemann) de $E$ es, en sus coordenadas elegidas, $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ por lo que su determinante es $3$ no $4$ .

Lo importante es que el problema requiere que se demuestre que la igualdad para cualquier gráfico mundial $\phi$ , mientras que usted sólo lo muestra para el gráfico específico que construye.

Sin embargo, hay un tercer problema del que quizá no seas responsable: si $\sigma$ se dice que es la medida de la superficie de $E$ ¿por qué se requiere concluir que es una medida, ya? Alternativamente, ¿qué es una "medida de superficie" si no es una medida? (No conozco la construcción y definición de $\sigma$ con el que se trabaja, hay varios posibles, todos ellos equivalentes al final).