Dejemos que
$$E := \{x \in \Bbb R^5: x_1, x_2 \in \Bbb R, x_3 = x_1 + x_2, x_4 = 1, x_5 = 2\}$$
sea una variedad. Además, dejemos que
$$\phi: \Bbb R^2 \rightarrow E$$
sea un gráfico y $\sigma$ la medida de la superficie. Se puede suponer que $(E, B(E))$ es un espacio medible.
Demuestre que existe un $c \in \Bbb R$ tal que
$$\sigma(A) = c\lambda^2(\phi^{-1}(A))$$
y concluir que $\sigma$ es una medida.
Dado que la medida de la superficie $\sigma$ es independiente del gráfico que elijamos, definimos un nuevo gráfico $\phi: \Bbb R^2 \rightarrow E$ por
$$\phi(x_1, x_2) := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}.$$
Por definición de la medida de la superficie y de la integral en las variedades, se deduce que (para $X_A$ siendo el función de indicador )
$$\sigma(A) = \int_A 1 d\sigma = \int_E X_A d\sigma = \int_{\Bbb R^2} X_A(\phi(x_1, x_2)) \sqrt {g} \ d\lambda^2(x, y).$$
$g$ se refiere al determinante de la matriz gramiana de $M$ con respecto a $\phi$ . Un poco de cálculo da $g = 4$ Por lo tanto $\sqrt g = 2$ que es una constante, por supuesto. Por lo tanto, la integral anterior se puede escribir como
$$2 \int_{\Bbb R^2} X_A(\phi(x, y)) d\lambda^2(x, y) = 2 \int_{\Bbb R^2} X_{\phi^-1(A)} d\lambda^2(x, y).$$
Para las medidas generales $\theta$ en un conjunto $\Omega$ conocemos la identidad
$$\theta(A) = \int_{\Omega} X_A d\theta.$$
Por lo tanto, la integral anterior es idéntica a
$$2 \lambda^2(\phi^{-1}(A))$$
con $c := 2$ siendo nuestra constante deseada,
así que
$$\sigma(A) = c \lambda^2(\phi^{-1}(A)).$$
Esto es idéntico a la definición del Medida de empuje que hace que $\sigma(A)$ una medida también.
¿Es una solución decente?
