Puede alguien ayudarme a entender la notación del operador binario en la definición

Question

La definición es,

Dejemos que $S$ sea un conjunto no vacío. Entonces una función $f : S \times S \to S$ es un operador binario.

Si lo he entendido bien, significa que $(a,b) \in S \times S \Rightarrow f(a,b)=a\text{*}b \in S$ entonces $\text{*}$ es un operador binario. Muy bien. Pero eso no explica que por qué es $f$ ¿un operador binario?

Voy a explicar mi duda más claramente, estoy teniendo problemas con las anotaciones aquí,

Si $f(a,b) = a \text{*} b$ donde $\text{*}$ es un operador binario. Y si digo que $f$ es también el mismo operador binario, entonces $f= \text{*}$ . Así que puedo escribir $f(a,b)= afb$ lo que parece absurdo porque $b$ no es la imagen de $a$ en $f$ . La expresión correcta (según yo) debería ser $(a,b)f(a\text{*}b)$

Así que, $f$ no puede ser $\text{*}$ . No entiendo cómo una relación (función en este caso) puede ser igual a un operador binario

EDIT: Lo que estoy tratando de decir es,

Si $R$ es una relación, entonces si $b$ es la imagen de $a$ en $R$ entonces lo escribimos como, $aRb$

Según la definición de mi libro de texto, $ * : S \times S \to S $ donde $*$ es un operador binario $\Rightarrow$ función $\Rightarrow$ Relación.

Entonces $* (a,b) = a *b $ pero esto se leería como $b$ es imagen de $a$ en $*$ . Esta notación parece ser muy utilizada, pero de alguna manera no me parece correcta.

Answer 1

$*$ y $f$ son sólo diferentes notaciones para la misma función subyacente. Así que

$a*b=c$

$f(a,b)=c$

$(a,b) \xrightarrow{f} c$

todos tienen el mismo significado. Un operador binario simplemente asigna cada par ordenado de elementos de $S$ (es decir, cada miembro de $S \times S$ ) a un elemento de $S$ .

Answer 2

Se llama binario, porque $f$ tiene dos argumentos. Actúa sobre $2$ -tuplas.

Así que puedo escribir $f(a,b)= afb$ lo que parece absurdo porque $b$ es no es la imagen de $a$ en $f$ .

$a f b$ se llama notación infija . ( $f a b$ se llama notación de prefijo y $a b f$ notación postfija). Todas las medias $f(a, b)$ .

Como siempre, la interpretación de cómo se analiza un término determinado depende del contexto.

Answer 3

Tal vez sea mejor utilizar el punto de vista de que algunas definiciones pueden ser relajadas, en algún sentido, y que la notación cambia dependiendo de cómo queremos utilizar un objeto.

Digamos que $\ast$ es un operador binario. Entonces podemos tomar dos elementos, digamos $a, b \in S$ y combinarlos con $\ast$ para conseguir $a\ast b\in S$ . Así que un operador binario es algo que toma dos elementos y los combina para dar uno.

Ahora defina $f\colon S\times S \to S,\enspace f(x, y) = x\ast y$ . Entonces $f$ toma dos elementos y los combina para dar uno, y por lo tanto $f$ es un operador binario utilizando la operación binaria $\ast$ pero utilizaremos la notación $f(x, y)$ en lugar de $x\ast y$ para enfatizar que estamos usando alguna función $f$ en lugar de sólo la operación binaria $\ast$ .

Esto es como poder escribir $f(a) = b$ y $a \stackrel{f}{\mapsto} b$ indistintamente. A veces es mejor escribir lo primero y otras lo segundo, pero ambos significan lo mismo.

Answer 4

Cuando escriba $afb$ entonces pareces confundir la notación infija de una relación (de la cual una función es un tipo especial) y la notación infija de un operador binario (como $+$ ).

Lo que la definición trata de decir es que un operador binario sobre un conjunto $S$ es una función $S \times S \to S.$ Sin embargo, no dice nada sobre la notación. Pero, como se sabe, rara vez escribimos $+(3,5) = 8,$ pero en cambio $3+5 = 8.$ Eso sí no significa que $+$ relacionar $3$ y $5$ como $3 < 5$ lo hace.

Si desea utilizar la notación infija de la función $+$ como una relación, entonces la forma correcta de escribirlo es $(3,5)+8.$ Pero esa es una forma muy confusa de escribir la identidad que normalmente se escribe $3+5=8.$