Grupo infinito con un número finito de clases de conjugación de cardinalidad $n$ .

Question

¿Existe un grupo infinito $G$ tal que:

1. No hay clases de conjugación que contengan infinitos elementos.
2. Por cada $n \in \mathbb{N}$ sólo hay un número finito de clases de conjugación que contienen exactamente $n$ elementos.

Algunas observaciones básicas:

• $G$ no puede ser abeliana, de lo contrario tendría infinitas clases de conjugación que contienen $1$ elemento.
• $G$ debe tener infinitas clases de conjugación.

Una idea básica que tenía era construir un grupo $$G := \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} G_n,$$ donde $G_n$ es un grupo finito con $2$ clases de conjugación: una que contiene el elemento neutro, de tamaño $1$ y la otra que contiene todos los demás elementos, de tamaño $p_n$ . Si todos los $p_n$ son primos y $p_1 < p_2 < \cdots < p_n < \cdots$ Creo que las condiciones se cumplirían. Sin embargo, no tengo ni idea de si hay infinitos primos $p_n$ para los que dichos grupos $G_n$ existe...

Answer 1

Sólo hay que tomar una suma directa $G=\bigoplus G_n$ donde en $G_n$ el tamaño más pequeño $c_n$ de una clase de conjugación $\neq\{1\}$ satisface $c_n\to\infty$ . Por ejemplo $G_n$ el grupo simétrico funciona (en $S_n$ para $n\ge 3$ toda clase de conjugación tiene cardinal $\ge n$ y en realidad mucho más). Alternativamente, tome las primeras potencias $q_n\to\infty$ y el grupo afín $G_n=\mathbf{F}_{q_n}\rtimes \mathbf{F}_{q_n}^*$ en el que cada clase de conjugación no trivial tiene cardinal $\ge q_n-1$ . Esto da un ejemplo soluble (metabeliano).

En efecto, si $g$ tiene una clase de conjugación de tamaño $c$ y $c_n>c$ para $n\ge n_0$ entonces $g\in\bigoplus_{n<n_0}G_n$ lo que deja un número finito de posibilidades para $g$ .

(Nota: un grupo con sólo clases de conjugación finitas se llama grupo FC).