Ayuda para el cálculo de la prueba de la razón de verosimilitud

Question

Estoy intentando resolver un problema de Estadística Matemática y Análisis de Datos de Rice (Problema 9.41) y me he quedado atascado haciendo algún cálculo. A saber, que $X_i\sim\text{Bin}(n_i,p_i)$ para $i = 1,\dots,m$ . Se supone que debo elaborar una prueba de razón de verosimilitud logarítmica para la hipótesis nula $H_0: p_1 =\cdots=p_m$ La alternativa es que no todas son iguales, y también encontrar su distribución muestral grande. He calculado que la razón de verosimilitud es

$$ \Lambda = \frac{\prod_{i = 1}^m \hat p_i^{x_i}(1-\hat p_i)^{n_i-x_i}}{\hat p^{\sum_{i=1}^mx_i}(1-\hat p)^{\sum_{i=1}^m n_i-x_i}}, $$ donde $\hat p_i = x_i/n_i$ y $$\hat p= \frac{\sum_{i=1}^m x_i}{\sum_{i=1}^m n_i}. $$ Sin embargo, cuando intento calcular $2\text{log} \Lambda $ No consigo nada remotamente útil. Sé que la distribución de la muestra grande se supone que es $\chi^2(m-1)$ pero no tengo ni idea de cómo llegar a esa conclusión.

Answer 1

Creo que has invertido el numerador con el denominador. Si queremos probar : $$H_0:\theta\in\Theta_0 \space vs\space H_1:\theta\in\Theta_0^c$$ donde $\Theta$ es el espacio paramétrico, entonces: $$\Lambda(x)=\frac{\sup_{\Theta_0}L(\theta|x)}{\sup_{\Theta}L(\theta|x)}$$ Suponiendo que, $\Lambda$ debería escribirse así: $$\Lambda = \frac{\hat p^{\sum_{i=1}^mx_i}(1-\hat p)^{\sum_{i=1}^m n_i-x_i}}{\prod_{i = 1}^m \hat p_i^{x_i}(1-\hat p_i)^{n_i-x_i}}. $$