Estoy viendo el siguiente problema:
Supongamos que $m$ y $n$ son coprimas, Impares enteros positivos. Demostrar que el sistema de congruencias $$2x \equiv 1 \pmod m\\ 4x \equiv 1 \pmod n$$ tiene una solución.
Siento que debería ser capaz de utilizar el Teorema del Resto Chino aquí de alguna manera, pero ¿cómo puedo llevar las ecuaciones a una forma $x \equiv b_1 \pmod {m_1}$ sin conocer los inversos multiplicativos de $2$ y $4$ modulo $n$ ?
Espero que pueda ayudar.
Las cifras $2$ y $4$ tienen inversos modulo $m$ y $n$ respectivamente, ya que $m$ y $n$ son impar.
Si $a$ es la inversa de $2$ modulo $m$ y $b$ la inversa de $4$ modulo $n$ entonces nuestras congruencias son equivalentes a $x\equiv a\pmod{m}$ , $x\equiv b\pmod{n}$ . Ahora podemos usar el CRT.
Observación: No tenemos que conozca las inversas para demostrar que existen. Sin embargo, las inversiones no son difíciles de calcular.
Desde $m$ es impar, tenemos $m=2k+1$ para algunos $k$ . Entonces $1\equiv 2k+2\pmod m$ y por lo tanto $x\equiv k+1\pmod{m}$ .
La situación para $4$ es algo más complicado. Si $n$ es de la forma $4k+3$ entonces $1\equiv 4k+4\pmod{n}$ y por lo tanto $x\equiv k+1\pmod{n}$ .
Si $n$ es de la forma $4k+1$ entonces $1\equiv -4k\pmod{n}$ Por lo tanto $x\equiv -k\pmod{n}$ .
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