$1/|x|^\alpha$ es integrable en la bola unitaria en $\mathbb R^n$ si $\alpha < n$

Question

Siempre he recordado la afirmación de que $1/|x|^\alpha$ es integrable en la bola unitaria en $\mathbb R^n$ si $\alpha < n$ . Pero no sé cómo probarlo. Puede alguien mostrarme cómo demostrarlo o enlazar una prueba de ello.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $A_n(R)$ sea la superficie de $\|x\|=R$ en $\mathbb{R}^n$ . Entonces, obviamente $A_n(R)= C\cdot R^{n-1}$ para alguna constante positiva $C$ y..:

$$\int_{\|x\|\leq 1}\frac{d\mu}{\|x\|^{\alpha}} = \int_{0}^{1}\frac{A_n(z)}{z^\alpha}\,dz = C\cdot \int_{0}^{1}z^{n-1-\alpha}=\frac{C}{n-\alpha}$$ siempre que $\alpha\color{red}{<}n$ .