¿Por qué el subesquema abierto $D(p)\cup D(T)$ en $\text{Spec } \mathbb Z[T]$ ¿No es afín?

Question

En el libro de texto AG de Liu, el ejemplo 2.3.6 dice que al mirar $ \text{Spec }\mathbb Z[T]$ y el subesquema abierto que consiste en la unión de las dos bases abiertas $U:=D(p)\cup D(T)$ para algún primo $p$ , $$\mathcal O_X(U)\subseteq \mathcal O_X (D(p))\cap \mathcal O_X (D(T)) = \mathbb Z[T,1/T]\cap\mathbb Z[T,1/p]=\mathbb Z[T].$$

Y esto implica que $\mathcal O_X(U)=\mathbb Z[T]$ (No veo por qué no puede ser un subconjunto propio). Y luego, utilizando el hecho de que $\mathcal O_X(U)=\mathbb Z[T]=\mathcal O_X(X)$ podemos concluir que $U$ no es afín utilizando el hecho de que para un esquema afín $Y$ y cualquier esquema $X$ , $\hom(X,Y)\to\hom(\mathcal O_Y(Y),\mathcal O_X(X))$ es biyectiva.

Estoy asumiendo que se deriva una contradicción al suponer $U$ es efectivamente afín, y tomando $Y=U$ , $X= \text{Spec }\mathbb Z[T]$ pero no veo exactamente cómo.

Answer 1

Funciones en $U$ ya contienen los polinomios. Para ver esto, observe que las funciones en $D(p)$ y $D(T)$ son ambas localizaciones de un dominio integral, y por tanto el mapa canónico del anillo de polinomios es una inyección.

Para la segunda parte, si $U$ fuera afín, por la observación anterior sería isomorfo a $Spec(\mathbb{Z}[T])$ . Pero esto no puede ser así ya que este último esquema es irreducible y $U$ es reducible esencialmente por definición.