¿Cómo puedo calcular este límite: $\lim\limits_{n\to\infty}1+\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}}$?

Question

He visto esta pregunta en internet y estaba interesado en saber la respuesta.

Aquí está :

Calcular el $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}})$?

Edit : realmente he intentado hacerlo pero no era capaz de llegar a algún lugar.

Yo sé cómo hacer preguntas como $ y = (1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dotsb+\sqrt 1}}) $ y, a continuación, escribimos $ (y-1)^2 = y $ y resolver.

Pero para esto tengo ningún método. Así que me gustaría incluso una especie de una pista para tratar de ayudarme a comenzar, no hay necesidad de contestar.

Answer 1

Sé que esto no es lo que usted pidió, pero ya es un paso más cerca de la respuesta, voy a publicar de todos modos. Voy a demostrar que el límite existe.

En primer lugar, dado que el $a<2$, sabemos que $2^n>n+a$ todos los $n\geq 2$. Vamos a probar esto por inducción. Primero de todo, funciona para $n=2$, ya que el $2^2>2+a$ es cierto, porque hemos asumido $a<2$. Ahora ese $2^n>n+a$ algunos $n$, sabemos que $$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n+2a>n+n+a>(n+1)+a$$ así que debe ser verdad para todos los $n$. A partir de eso, podemos deducir $\sqrt[n]{n+a}<2$. Ya que también se $\sqrt[n]{n}<2$, podemos usar este hecho para encontrar una cota superior, ya que:\begin{align} a_n=\sqrt[n]{n}&<2\\ a_{n-1}=\sqrt[n-1]{n-1+a_n}&<2\\ a_{n-2}=\sqrt[n-2]{n-2+a_{n-1}}&<2\\ &\vdots\\ a_2=\sqrt[2]{2+a_3}&<2 \end{align} Así que la secuencia siempre será menor que $1+2=3$. No es tan difícil ver que la secuencia es siempre positivo, ya que las raíces de los números positivos son positivos. Tampoco es demasiado difícil ver que es monótona, ya que para que en plazo adicional se agrega un término para la "más profunda de la mentira" de la raíz, y por lo que todo lo va a conseguir más, demasiado. Me doy cuenta de que el argumento por el hecho de que es un aumento de la secuencia no es muy riguroso, pero se los visualiza, y también podría ser bastante riguroso, de hecho.

También, he calculado el valor de $n=1000$ con Wolfram Mathematica 10.0 y el valor que se le dio fue $2.9116392162458242839\cdots$

Espero que esto ayudó!

Answer 2

Bueno, esta es mi mejor foto:

$$L=\lim_{n\to\infty}(1+\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}})$$

$$L^2=\lim_{n\to\infty}(1+\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}})^2$$

$$=\lim_{n\to\infty}1+2\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}}+2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}$$

$$L^2=\lim_{n\to\infty}1+2L+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}$$

$$L^2-2L-1=\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}$$

$$L^2-2L+1=2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}$$

$$\sqrt{L^2-2L+1}=\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}}$$

$$\sqrt{L^2-2L+1}+1=1+\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\dotsb+\sqrt[n]n}}$$

$$\sqrt{L^2-2L+1}+1=L$$

$$L^2-2L+1=(L-1)^2$$

Bueno, he intentado. Resulta que esta es una declaración verdadera para todos los $L$, por lo que no han reducido. Pero tal vez mi método plantea ideas....

Esto es equivalente a tratar de resolver:

$$\lim_{n\to\infty}((\dots((L-1)^2-2)^3-3\dots)^n-n=0$$

Y a través de un gráfico, vemos que el límite converge rápidamente y sólo para algunos $L$.