definición de grupo de automorfismo externo

Question

Estoy tomando un curso de introducción a la teoría de grupos, y el grupo de automorfismo exterior se menciona brevemente en clase, aquí hay "dos" definiciones:

Un automorfismo de un grupo que no es interno se llama automorfismo externo.
El grupo de automorfismo externo de un grupo G es el cociente Aut(G) / Inn(G).

¿Se contradicen? porque me parece que la 1ª definición está sugiriendo que el automorfismo exterior es Aut(G) - Inn(G)....y como la identidad está en Inn(G)... no sé cómo podemos "agrupar" todos los automorfismos exteriores (Estoy tratando de identificar la similitud con Inn(G), que es un subgrupo de Aut(G)) ?

la 2ª definición me parece muy rara... quiero decir que tiene algo de sentido cuando G es abeliano, tenemos Inn(G) = {e}, por lo que los elementos del grupo de automorfismo exterior son efectivamente automorfismos exteriores... pero cuando Inn(G) = { $\phi_a,\phi_b...$ } donde $\phi_a(g) = aga^{-1}$ ¿no es el automorfismo exterior sólo un coset de Inn(G)?... ¿por qué llamamos a { $\psi\phi_a,\psi\phi_b...$ } un elemento del grupo de automorfismo externo?

también demostramos que Inn(G) es un subgrupo normal de Aut(G)...¿por qué el grupo de automorfismo externo tiene que ser un grupo cociente?...¿no puede ser simplemente un coset de izquierda/derecha?

Estoy tratando de hacer una pregunta extra en mi tarea... pero ya que hay muy poca información dada en clase sobre el automorfismo exterior, me imagino que debo obtener una mejor comprensión de la misma en primer lugar.

Answer 1

Bueno, depende de la definición que se utilice. Supongo que conoces bien los automorfismos internos y los automorfismos. De la definición es fácil ver que $Inn(G)\triangleleft Aut(G)$ . Esto nos permite construir un grupo cociente a partir de este $Aut(G)/Inn(G)$ lo que se observa $Out(G)$ y se llama grupo de automorfismo externo.

Para mí, un automorfismo exterior no es un automorfismo, es un elemento de $Out(G)$ por lo que se trata de una clase en $Aut(G)$ modulo $Inn(G)$ . Para evitar confusiones sugeriría simplemente llamar a un elemento en $Aut(G)$ que no está en $Inn(G)$ "automorfismo no interno", dejando la denominación de "automorfismo externo" a los elementos de $Out(G)=Aut(G)/Inn(G)$ .

Con esta convención un elemento del grupo de automorfismo exterior es un automorfismo exterior (lo cual es tranquilizador). Con tu definición un elemento no trivial del grupo de automorfismos exteriores es un conjunto de automorfismos exteriores. Definitivamente te sugeriría que no uses la primera definición que nos diste para un automorfismo exterior esencialmente porque tu observación es correcta con esta definición el conjunto de automorfismos exteriores es el conjunto de automorfismos que no son interiores y no es un grupo (lo cual es muy problemático porque tenemos un grupo llamado grupo de automorfismos exteriores).

Por supuesto, hay un problema semántico con mi definición porque no hay acción natural (al menos cuando $G$ es no abeliana) de $Out(G)$ en $G$ (un grupo de * automorfismos de $G$ no actúa sobre $G$ ). En particular, cuando $f$ es un automorfismo exterior (con mi definición) no se puede tomar $g\in G$ y evaluar $f(g)$ (no tiene sentido).

Sin embargo, se puede demostrar que $Out(G)$ actúa sobre el conjunto de clases de conjugación de $G$ en el conjunto de clases de representaciones irreducibles de $G$ sobre la cohomología de varios grupos de $G$ ... Así que tiene muchas acciones interesantes (y significativas). Esas acciones hacen del grupo de automorfismo exterior un grupo muy interesante para entender el grupo $G$ . Permítanme comentar (como respuesta a su última pregunta) que $Aut(G)$ también actúa en los conjuntos de los que he hablado, lo que pasa es que en cada caso $Inn(G)$ actúa trivialmente sobre cada uno, es decir, estudiando $Out(G)$ en lugar de $Aut(G)$ es realmente como centrarse en los datos interesantes contenidos en $Aut(G)$ y eso es lo relevante al estudiar $Aut(G)/Inn(G)$ .

Answer 2

Debemos tener en cuenta la diferencia entre lo que entendemos por: un automorfismo exterior y el grupo de los automorfismos exteriores.

• Automorfismo $\phi$ de $G$ es el medio exterior $\phi\notin Inn(G)$ .

• El conjunto de automorfismos externos no es un grupo (la identidad no es un automorfismo exterior), por lo que no podemos llamarlo grupo de automorfismo externo .

• Pero el conjunto de automorfismos exteriores, módulo de automorfismos interiores, es decir $Aut(G)/Inn(G)$ es un grupo que se llama grupo de automorfismo externo .

(¿En qué lugar te confundes?)