Números de Stirling del primer tipo y $S_n$ .

Question

Sé que, por un lado, si $s(n, p)$ denota los números Stirling de primer orden sin signo, entonces $(x)_n=\displaystyle\sum_{p=0}^n s(n, p)x^p$ , donde $(x)_n=x(x-1)\cdots(x-n+1)$ . De ello se desprende que $n!=\displaystyle\sum_{p=0}^n s(n, p)n^p$ .

Pero también sé que $s(n, p)$ cuenta el número de permutaciones en $S_n$ que puede escribirse como el producto de $p$ ciclos disjuntos, por lo que no debería $n!=\displaystyle\sum_{p=0}^n s(n, p)$ ¿En su lugar?

Answer 1

Los números Stirling del primer tipo, $s(n,p)$ , cuente el número de permutaciones en $S_n$ que son producto de $p$ ciclos disjuntos, ¡pero te olvidas del signo! Las identidades relevantes son:

$$n!=\sum_{p=0}^n s(n,p)n^p$$ y $$n!=\sum_{p=0}^n |s(n,p)|.$$ A menudo el símbolo $\left[{n\atop p}\right]$ se utiliza para denotar $|s(n,p)|$ los números Stirling sin signo del primer tipo. La razón por la que definimos los números de Stirling del primer tipo $s(n,k)$ para ser firmada es porque entonces las matrices infinitas $(s(n,k))_{k,n\in\mathbb N}$ y $(S(n,k))_{n,k\in\mathbb{N}}$ (donde $S(n,k)$ son los números de Stirling del segundo tipo) que son triangulares inferiores y superiores respectivamente, forman un par de matrices de cambio de base (son inversas entre sí) que nos permiten pasar de la base de series de potencias de polinomios $1,x,x^2,\dots$ a la base del cálculo umbral $(x)_0,(x)_1,(x)_2,\dots$ .

Answer 2

Te has equivocado en la suma. Lo es: $$ x^{\overline{n}} = \sum_{0 \le p \le} \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{p} x^p $$ (es decir, en el lado izquierdo tiene $x (x + 1) \ldots (x + n - 1)$ ).