Prueba confusa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

El profesor lo demostró así:

Muy elegante (mucho más sencillo que la mayoría de los que encuentro en Internet), pero aún no me convence, sobre todo los dos últimos pasos más o menos, en los que el valor absoluto del lado izquierdo parece desaparecer.

¿Alguna idea?

Answer 1

Esta prueba supone que $\vec a.\vec b$ puede escribirse como $\left\lVert\vec a\right\rVert.\left\lVert\vec b\right\rVert.\cos\theta$ para algún número $\theta$ . Esto es lo mismo que afirmar que $\left\lvert\vec a.\vec b\right\rvert\leqslant\left\lVert\vec a\right\rVert.\left\lVert\vec b\right\rVert$ y esto es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que es lo que se quiere demostrar. Por lo tanto, hay un razonamiento circular aquí.

Answer 2

Dado que $a\cdot b= \|a\|\cdot \|b\|\cos(\theta)$ tenemos que $$|a\cdot b|= \|a\|\cdot \|b\||\cos(\theta)|$$ (ya que la longitud de un vector es siempre no negativa).

Observando que $|\cos(\theta)|\leq 1$ podemos tener eso:

1. $|\cos(\theta)|=1$ lo que implica que $|a\cdot b|\leq\|a\|\cdot \|b\|$ se satisface con la igualdad.
2. $|\cos(\theta)|<1$ lo que implica que $|a\cdot b|<\|a\|\cdot \|b\|$

Esto último demuestra la afirmación.

$$|a\cdot b| \leq \|a\|\cdot \|b\|$$

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EDITAR : Como señala @user en los comentarios de abajo, no tiene sentido mover el $|\cos(\theta)|$ al denominador como sugirió tu profesor, porque nada te impide tener $\theta=\frac{\pi}2$ lo que implica que $\cos(\theta)=0$ . Es mejor mantenerlo en el otro lado y derivar la conclusión desde allí.

Descargo de responsabilidad Creo que deberías, sin embargo, considerar lo que señalan @jose-carlos-santos y @giuseppe-negro, que en realidad se trata de un razonamiento circular, y por tanto no es una prueba válida.