Dejemos que $p$ sea un primo. Sea $n$ y $k$ sean enteros positivos tales que $k$ divide $pn$ pero no $n$ (es decir, $k$ es un divisor de $pn$ teniendo $p$ -ordenada que es uno mayor que el $p$ -ordenada de $n$ ).
Dejemos que $E = GF(p^{pn})$ , dejemos que $F = GF(p^n)$ y que $K = GF(p^k)$ .
El problema:
Quiero mostrar que la imagen de $K$ bajo el mapeo $x \mapsto N_{E/F}(x)$ es igual a $GF(p^{k/p})$ .
¿Cuál es la mejor manera de hacerlo?
En este punto esto es más un comentario que una respuesta, estoy más o menos "pensando en voz alta" aquí. Si lo deseas, puedes votar en contra.
Voy a tratar primero con $p=2$ . Sea $N_K$ denotan la imagen de $K$ en $F$ bajo el mapeo $x \mapsto N_{E/F}(x)$ .
Está claro que tenemos $0 \in N_K$ y además el único elemento que mapea a $0$ es $0$ . También está claro que $1 \in N_K$ y que $N_K$ es cerrado bajo la multiplicación, ya que la norma es multiplicativa. Para el cierre bajo la adición no estoy tan seguro... quizás haya algo que hacer representando los elementos de $N_K$ como polinomios sobre $GF(2)$ ?
Para $x \in K$ tenemos $N_{E/F}(x) = x^{2^n+1}$ . Se puede demostrar que el tamaño de la imagen de $K^*$ bajo el mapeo $x \mapsto x^{2^n+1}$ es $$\frac{2^k-1}{\gcd(2^k-1,2^n+1)} = \frac{2^k-1}{2^{\gcd(k,n)}+1} = \frac{2^k-1}{2^{k/2}+1} = 2^{k/2}-1.$$ Por lo tanto, $N_K$ es un subconjunto de $F$ que tiene el tamaño $2^{k/2}$ , contiene $0$ y $1$ y es cerrado bajo la multiplicación.
¿Es suficiente para este caso?
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