Me vendría bien un poco de ayuda para el problema:
Dejemos que $f$ sea una función de valor real no negativa definida en $[0,1]$ .
¿Verdadero o falso? $f$ es medible si y sólo si existe una secuencia $\{E_n\}$ (finito o infinito) de subconjuntos medibles de $[0,1]$ y una secuencia de constantes no negativas $\{c_n\}$ tal que $f(x) = \sum_n c_n \chi_{E_n}(x)$ por cada $x\in[0,1]$ , donde $\chi_{E_n}$ es la función característica de $E_n$ para cada $n$ .
Creo que la afirmación es cierta. Para la dirección $(\Longleftarrow$ ), ya que $f(x) = \sum_n c_n \chi_{E_n}(x)$ por cada $x\in[0,1]$ vemos que $\{\sum_n^k c_n \chi_{E_n}\}_k$ es una secuencia de funciones simples sobre $[0,1]$ convergiendo puntualmente a $f$ y $|\sum_n^k c_n \chi_{E_n}|\le |f|$ en $[0,1]$ para todos $k$ . Por teorema de aproximación simple, $f$ es medible.
Pero me quedé atascado en la parte delantera ( $\Longrightarrow$ ) dirección. Además, si la prueba anterior no es correcta, por favor indíquelo. Gracias.
