Estoy tratando de aprender sobre la relación de la madeja, pero no entiendo lo que se está haciendo aquí. ¿Puede alguien ayudarme con esto? 
¿Y cómo es $1+z^2$ como el resultado final obtenido?
Adicional: Esta es la relación dada por Conway,
Respuesta
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tim_yates
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La relación de la madeja $$ \nabla_{D_+}(z) - \nabla_{D_-}(z) = z \cdot \nabla_{D_0}(z) $$ relaciona los polinomios de Alexander-Conway de tres diagramas cualesquiera que son idénticos fuera de un disco pequeño, y tienen las tres formas locales dentro del disco.
El truco para utilizar la relación de la madeja de forma efectiva es encontrar un cruce, digamos, positivo en el diagrama (llamémosle $D_+$ ), y observar los diagramas que se obtienen sustituyendo el cruce positivo por un cruce negativo ( $D_-$ ) y un alisado ( $D_0$ ), respectivamente.
Los polinomios correspondientes a cada uno de los tres diagramas se relacionan mediante la fórmula de la madeja. Esto es sólo útil si los diagramas resultantes son más simples o se conocen sus polinomios de Alexander-Conway.
En su ejemplo, con $D_+$ un diagrama de tres cruces para el nudo trébol de la derecha, cambiando un cruce resulta en el diagrama $D_-$ que es isotópico al nudo. (Ya hemos terminado, ya que sabemos que $\nabla_{\text{unknot}}(z) = 1$ .)
Por otro lado, si se sustituye el cruce positivo por un alisado, se obtiene un diagrama $D_0$ que es el enlace de Hopf de dos componentes. ¿Qué es? $\nabla_{\text{Hopf}}(z)$ ? Todavía no lo sabemos. Pero, ¡podemos volver a utilizar la relación de la madeja!
Esta vez, elija otro cruce positivo en el diagrama, y considere que éste es $D_+$ en la relación. Los otros dos diagramas se resuelven bien. Para $D_-$ obtenemos la desvinculación de dos componentes, que tiene $\nabla(z) = 0$ ? (¿Sabe por qué la existencia de un componente no vinculado obliga a $\nabla(z) = 0$ ?) Y para $D_0$ tenemos otro nudo.
Ahora, calcula el árbol de madejas. Para el enlace de Hopf, $$ \begin{align} \nabla_{\text{Hopf}}(z) &= 1 \cdot \nabla_{\text{2-comp unlink}}(z) + z \cdot \nabla_{\text{unknot}}(z) \\ &= 1 \cdot 0 + z \cdot 1 \\ &= z \end{align} $$
Y para el trébol original, $$ \begin{align} \nabla_{\text{trefoil}}(z) &= 1 \cdot \nabla_{\text{unknot}}(z) + z \cdot \nabla_{\text{Hopf}}(z) \\ &= 1 \cdot 1 + z \cdot z \\ &= 1 + z^2 \end{align} $$
¿Tiene esto sentido? ¿Entiendes cómo el árbol se ramifica a partir de un diagrama cualquiera para formar otros dos? ¿Puedes calcular de nuevo el árbol para encontrar el polinomio del diagrama original?
