flujo de $\langle x,y,z^2\rangle$ a través de la esfera de la unidad

Question

Estoy tratando de calcular $\iint_S F\cdot$ d S donde $F=\langle x,y,z^2\rangle$ y $S$ es la esfera unitaria centrada en el origen.

Aquí está mi intento:

En la esfera podemos describir cualquier punto mediante $r(\phi,\theta)=\langle \sin\phi \cos\theta,\sin\phi \cos\theta, \cos\theta\rangle$ y el vector normal hacia el exterior de $S$ viene dada por $n=r.$ Por lo tanto,

$$\iint_S F\cdot dS = \iint_D F(r(\phi,\theta))\cdot n dA$$ $$=\iint_D \langle \sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos^2\theta\rangle\cdot \langle \sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta\rangle dA$$ $$=\iint_D \sin^2\phi(\cos^2\theta + \sin^2\theta)+\cos^3d\theta dA = \int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} \sin^2\phi +\cos^3\theta d\theta d\phi = \pi^2$$

sin embargo la respuesta es $\frac{8}{3}\pi$ y el último signo de igualdad es correcto (usé Wolfram para confirmarlo), así que supongo que hice algo mal en la configuración.

Answer 1

El vector de posición debe ser $$r(\phi,\theta)=\langle \sin\theta \cos\phi,\sin\theta \sin\phi, \cos\theta\rangle.$$ Y el elemento de volumen debe ser $$ dA = \langle \sin\theta \cos\phi,\sin\theta \sin\phi, \cos\theta\rangle \sin \theta \ d\theta \ d\phi.$$ Así que la integral debería ser $$\iint_S F\cdot dA = \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \int_{\phi = 0}^{\phi = 2\pi} \left( \sin^2 \theta + \cos^3 \theta\right) \sin \theta \ d\theta \ d\phi.$$

Answer 2

Puedes utilizar el teorema de la divergencia para simplificar las cosas. Tenemos $$\operatorname{div} \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} = 2+2z$$

así que $$I = \iint\limits_{\text{unit sphere}} \vec{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{\text{unit ball}} \operatorname{div} \vec{F} \,dV = \int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^\pi \int_{r=0}^1 2(1+r\cos\theta)\underbrace{r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi}_{dV}$$

El integrando es independiente de $\phi$ por lo que los factores son $2\pi$ y entonces la segunda integral desaparece:

$$I = 4\pi\left(\int_{\theta = 0}^\pi \int_{r=0}^1 r^2\sin\theta\,dr\,d\theta + \int_{\theta = 0}^\pi \int_{r=0}^1 r^3\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\right) = \frac83\pi$$