Definición de grupos de Chow sobre Spec Z

Question

Por lo general (por ejemplo, la intro. en 'Cycle modules with coefficients' de M. Rost), para una variedad, $X$ sobre un campo se puede definir el grupo Chow de p-ciclos, $CH_p (X)$ , como $$CH_p (X) = coker\; \left[\bigoplus_{x\in X_{p+1}} k(x)^\times \rightarrow \bigoplus_{x\in X_p} \mathbb{Z}\; \right]$$ .

¿Y para un esquema aritmético, por ejemplo cuando $X$ es, digamos, normal, separada, de tipo finito y plana sobre $Spec \; \mathbb{Z} $ ? ¿Hay algo que no funciona en la definición anterior?

Peter Arndt ya había planteado parte de esta cuestión, pero parece que no tiene respuesta.

Answer 1

Como explica Hailong, se puede definir el grupo de Chow CH( $X$ ) (sin graduar por la dimensión de los ciclos) de cualquier esquema noetheriano $X$ . Pero en general hay que tener cuidado con el comportamiento de la equivalencia racional.

• Un divisor principal en un subesquema integral cerrado $W$ de dimensión $i+1$ no es necesario un $i$ -ciclo (esto tiene que ver con la noción de esquemas catenarios).

• Si $X$ no es equidimensional, entonces el divisor asociado a una función racional invertible puede no ser racionalmente equivalente a $0$ (incluso cuando $X$ es una variedad proyectiva reducida sobre un campo).

• Si $f : X\to Y$ es un morfismo propio, entonces al contrario que en el caso de las variedades sobre un campo, el pushforward por $f$ no induce un mapa ${\rm CH}(X)\to {\rm CH}(Y)$ . Se puede construir un ejemplo con $X$ afín, regular de dimensión $2$ , $f$ biracional finito y la imagen de un divisor principal en $X$ es distinto de cero en CH( $Y$ ).

Para remediar estas patologías, Thorup ( Teoría de la equivalencia racional en sierras arbitrarias esquemas noetherianos Enumerative geometry (Sitges, 1987), 256--297, Lecture Notes in Math., 1436 1990) define una relación de equivalencia racional graduada asociada a una graduación en $X$ (un mapa de $X$ a $\mathbb Z$ con algunas propiedades, por ejemplo $x\mapsto -\dim O_{X,x}$ ), y un divisor principal graduado en un subesquema integral cerrado es el divisor principal habitual en el que descontamos las componentes de mala graduación. Con la nueva equivalencia racional todo funciona bien para el pushforward por morfismos propios $X\to Y$ (aunque las calificaciones de $X$ y $Y$ deben ser compatibles en algún sentido) y el pullback por morfismos planos.

Cuando $X$ y $Y$ son de tipo finito sobre un esquema base universalmente catenario $S$ [ EDITAR que es equidimensional en cada punto], entonces cualquier morfismo propio $f : X\to Y$ induce un homomorfismo ${\rm CH}(X)\to {\rm CH}(Y)$ (sin clasificación), véase S. Kleiman, Teoría de la intersección y geometría enumerativa: una década de revisión Con la colaboración de Anders Thorup en el § 3. Proc. Sympos. Pure Math, 46 , Parte 2, Geometría algebraica, Bowdoin, 1985, 321--370, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.

La mayoría de ellos los aprendí de O. Gabber y los ejemplos mencionados anteriormente están en un preimpreso (aún no terminado) con él y D. Lorenzini.

[ EDITAR ]. En resumen, si $X$ es noetheriano, universalmente catenario (por ejemplo, de tipo finito sobre ${\mathbb Z}$ o cualquier esquema regular noetheriano) y equidimensional en cada punto (es decir, para cada $x\in X$ los componentes irreducibles de ${\rm Spec}(O_{X,x})$ tienen todos la misma dimensión), entonces CH $(X)$ puede descomponerse como la suma directa de los $CH_i(X)$ como en el post de Hailong. Si $f : X\to Y$ es un morfismo propio de esquemas noeterianos universalmente catenarios, entonces $f_*$ induce un homomorfismo ${\rm CH}(X)\to {\rm CH}(Y)$ . En el último contraejemplo anterior, $X$ es regular (así que univ. catenaria), $Y$ es catenaria pero no universalmente.

Answer 2

Se pueden definir grupos de Chow sobre cualquier esquema noetheriano $X$ . Sea $Z_iX$ sea el grupo abeliano libre sobre el $i$ -dimensional subvariedades (subesquemas integrales cerrados) de $X$ . Para cualquier $i+1$ -dimensional subesquema $W$ de $X$ y una función racional $f$ en $W$ podemos definir un elemento de $Z_iX$ de la siguiente manera: $$ [div(f,W)] = \sum_{V} ord_V(f)[V] $$ sumando sobre todas las subvariedades de codimensión uno $V$ de $W$ . Entonces el $i$ -Grupo Chow $CH_i(X)$ se define como el cociente de $Z_iX$ por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma $[div(f,W)]$ . La función de orden se define como la longitud del anillo local correspondiente, por lo que no necesita ninguna otra suposición sobre $X$ De hecho, $X$ ser localmente noetheriano es suficiente. Esta definición también coincide con la de la pregunta original.

Answer 3

Así que con mucho cuidado extra sobre la dimensión/codificación parece ser posible definir grupos de Chow sobre Spec Z si entiendo las respuestas anteriores correctamente.

Puedo señalar que en el libro de Elman, Karpenko y Merkurjev "Algebraic and Geometry Theory of Quadratic Forms" (aunque el título no lo sugiera) trabajan muy cuidadosamente los grupos de Chow, incluso alguna versión de grupos de Chow superiores. Comienzan tratando los grupos de Chow sobre esquemas generales excelentes (algo que no tiene escrito tan explícitamente en Fulton), por lo que es bastante general y sólo después se imponen supuestos adicionales, como la equidimensionalidad, estar sobre un campo, y todo eso. Así que tal vez vale la pena echar un vistazo a eso.

Por otro lado, obtienen un retroceso a lo largo de morfismos no planos sólo con las típicas condiciones más restrictivas. Sin embargo, esto es crucial para convertir a Chow grupos en el Chow anillo .

Así que creo que la construcción del producto de intersección [que utiliza el pullback a lo largo de la incrustación de la diagonal X -> X x X] es otro asunto muy muy crítico sobre Z (pero según una de las otras respuestas se puede hacer, eso suena muy interesante).

Por último, pero no menos importante, tal vez otra perspectiva, si uno escribe la multiplicidad de intersección clásica de dos ciclos, que se puede hacer multiplicando primero ambos ciclos de codim complementario [por lo que para esto necesitamos una estructura de anillo, pero vamos a suponer que alguien puede dar una estructura de este tipo, incluso sobre Z, sólo para saber dónde estaríamos realmente ir], entonces el producto se encuentra en CH^n(X), siendo n la dimensión de nuestro esquema. Ahora, para convertir esto en la multiplicidad de intersección clásica, se podría empujar este ciclo a lo largo del mapa estructural al campo base,

$X$ --> $Spec$ $(k)$

sobre un campo (!) y $CH{\_0}(Spec k) = \mathbb{Z}$ y obtenemos nuestro número de intersección. Voilà. Pero si somos propios sobre Spec Z, podríamos como mucho empujar hacia adelante

$X$ --> $Spec$ Z

pero $CH{\_0}(Spec(\mathbb{Z}) = 0$ por lo que no parece resultar nada muy interesante. [Sin embargo, este argumento sólo tiene sentido si los cambios de dimensión en esta configuración de Spec Z se llevaran a cabo de forma análoga, lo que tal vez sea también estúpido aquí por la razón de que Spec Z es unidimensional y Spec k cero-dimensional. Sólo digo todo esto, porque lo mejor y más genial sería, por supuesto, alguien con un Spec * F * $_1$ teniendo

CH_0(Spec * F * $_1$ )= ? (....algo, probablemente más bien R que Z)

y eso podría ser entonces nuestro número de intersección Spec Z dando * F * $_1$ el papel de un "campo base virtual" y supongo que algunas personas dicen que esto debe vincularse a la Arakelovian one.... pero bueno, eso es muy especulativo]

Así que creo que la expectativa de algunas personas va en la dirección de que la forma "interesante" de hacer teoría de intersección sobre Spec Z necesita tal final * F * $_1$ -twist.

Obsérvese tal vez que el analgoue clásico sería

P1 <-> Spec Z + (lugar infinito)

pero CH_0(P1) = Z, mientras que CH_0(Z) = 0, así que nos perdemos algo si sólo utilizamos los grupos de Chow clásicos sobre Spec Z. Para otras cuestiones, los métodos clásicos funcionan bien incluso para Z sin necesidad de * F * $_1$ más o menos, por ejemplo los grupos fundamentales étale tanto de P1 como de Spec Z son triviales. Pero para la teoría de Chow parecen ser necesarios algunos trucos adicionales.

Al menos esa es mi impresión. Por supuesto, este aspecto aritmético de la teoría de la intersección sobre Spec Z es una especie de historia diferente y también tiene perfecto sentido hablar de los grupos clásicos de Chow sobre Spec Z, así que ciertamente no hay nada equivocada en tener CH_0(Z) = 0, sólo que tal vez para algunos tipos de cuestiones de contenido aritmético, este tipo de teoría de Chow puede no ser el enfoque correcto.

Answer 4

El último capítulo del libro de Fulton define los grupos de Chow en los esquemas $X$ de tipo finito sobre un esquema suave fijo $S$ . No es automático tener un producto de intersección para $X$ suave, pero hay una mientras $S$ es $1$ -dimensional. Así que debería cubrir el caso de $\mathbb{Z}$ .

Answer 5

Creo que no se puede definir la intersección de los divisores verticales, véase Liu 9.1.33. Esto debería ser arreglado por la teoría de Arakelov.