Lo siguiente es una versión de juguete de algo con lo que he estado jugueteando y pensé que sería más eficiente publicarlo como una pregunta aquí.
Sólo para fijar definiciones: para mí, una función de valor complejo $f$ en un grupo $G$ se dice que positivo-semidefinido si, para cada elección de puntos $x_1, \dots, x_n\in G$ El $n\times n$ matriz $[f(x_i^{-1}x_j)]_{i,j=1}^n$ es PSD en el sentido habitual. Nótese que en esta definición no asumo $G$ es contable, ni asumo que $f$ es continua.
Pregunta 1. Dejemos que $f$ sea una función continua PSD en $\mathbb R$ y elegir un subconjunto finito $F\subset R$ ; entonces deja que $E=\{-x+y \mid x,y \in F\}$ . ¿Existe siempre una función PSD $h$ en $\mathbb R$ , con soporte finito o contablemente infinito tal que $h\vert_E = f\vert_E$ ?
Obviamente, si supiéramos que el ``truncamiento'' de $f$ al conjunto $E$ era a su vez una función PSD en $\mathbb R$ entonces la respuesta a la P1 sería positiva. Pero no veo por qué esta función truncada sería siempre PSD.
Pregunta 2. El análogo de Q1 con $\mathbb R$ sustituido por $\mathbb R^d$ para $d\geq 2$ .
Mi sospecha personal es que la Q2 tendrá una respuesta negativa, pero esto se basa en el pesimismo más que en cualquier intuición genuina.
